Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

{ϕ
k
} X
{ϕ
k
} X x ∈ X ε > 0
y ∈ X
y
{ϕ
k
}
y x ε kx − yk < ε
{ϕ
k
}
X
1, t, t
2
, . . .
C[a, b]
X
{ϕ
k
} X
{ϕ
k
}
X x ∈ X
x =
∞
X
k=1
c
k
ϕ
k
,
c
k
x ∈ X n
n
X
k=1
|c
k
|
2
||ϕ
k
||
2
≤ ||x||
2
.
n → ∞
∞
X
k=1
|c
k
|
2
||ϕ
k
||
2
≤ ||x||
2
. (1)
x ∈ X
||x||
2
|c
k
|||ϕ
k
|| → 0 k → ∞ x ∈ X
{ϕ
k
} X
x ∈ X
∞
X
k=1
|c
k
|
2
||ϕ
k
||
2
= ||x||
2
. (2)
||x −
n
X
k=1
c
k
ϕ
k
||
2
= ||x||
2
−
n
X
k=1
|c
k
|
2
||ϕ
k
||
2
            Ÿ 3. Êðèòåðèè ïîëíîòû îðòîãîíàëüíûõ ñèñòåì
   Ïóñòü {ϕk }  ñèñòåìà ýëåìåíòîâ â íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå X . Ñè-
ñòåìà {ϕk } íàçûâàåòñÿ ïîëíîé â X , åñëè äëÿ ëþáîãî x ∈ X è ëþáîãî ε > 0
ñóùåñòâóåò ýëåìåíò y ∈ X òàêîé, ÷òî:
   1) ýëåìåíò y ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà ýëå-
ìåíòîâ ñèñòåìû {ϕk },
   2) ýëåìåíò y óäàëåí îò x íà ðàññòîÿíèå, ìåíüøåå ε: kx − yk < ε.
   Óñëîâèÿ 1) è 2) îçíà÷àþò, ÷òî çàìûêàíèå ëèíåéíîé îáîëî÷êè ñèñòåìû {ϕk }
ñîâïàäàåò ñ ïðîñòðàíñòâîì X . Íàïðèìåð, òåîðåìà Âåéåðøòðàññà îá àïïðîêñè-
ìàöèÿõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ìíîãî÷ëåíàìè (íåñêîëüêî äîêàçàòåëüñòâ ýòîé
òåîðåìû ñì. â [5]) óòâåðæäàåò, ÷òî ñèñòåìà ñòåïåíåé 1, t, t2 , . . . ÿâëÿåòñÿ ïîë-
íîé â ïðîñòðàíñòâå C[a, b].
   Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî X  ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì,
à ñèñòåìà {ϕk } îðòîãîíàëüíà â X è íå ñîäåðæèò íóëåâîãî ýëåìåíòà. Èç ìèíè-
ìàëüíîãî ñâîéñòâà êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå ñëåäóåò, ÷òî ñèñòåìà {ϕk } ïîëíà â
X òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ëþáîé ýëåìåíò x ∈ X ðàçëàãàåòñÿ â ðÿä Ôóðüå
ïî ýòîé ñèñòåìå:                    ∞           X
                                         x=           ck ϕk ,
                                                k=1
ãäå êîýôôèöèåíòû ck îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå (2.2).
   Ïóñòü x ∈ X . Èç ïðåäëîæåíèÿ 4 äëÿ ïðîèçâîëüíîãî íàòóðàëüíîãî n èìååì
                                  n
                                  X
                                        | ck |2 ||ϕk ||2 ≤ || x||2 .
                                  k=1

Ïîëàãàÿ n → ∞, ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî Áåññåëÿ
                                  ∞
                                  X
                                        | ck |2 ||ϕk ||2 ≤ || x||2 .                  (1)
                                  k=1

Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà x ∈ X ðÿä â ëåâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà
(1) ñõîäèòñÿ è ñóììà ýòîãî ðÿäà íå ïðåâîñõîäèò || x||2 . Îòñþäà âèäíî, ÷òî
| ck | ||ϕk || → 0 ïðè k → ∞ äëÿ ëþáîãî x ∈ X .
  Ïðåäëîæåíèå 5. Îðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà {ϕk } ïîëíà â X òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà x ∈ X èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
Ïàðñåâàëÿ
                         ∞
                         X
                            | ck |2 || ϕk ||2 = || x||2 .        (2)
                                  k=1

  Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïðåäëîæåíèÿ 5 äîñòî÷íî âîñïîëüçîâàòüñÿ òîæäåñòâîì
                            n
                            X                               n
                                                            X
                                           2           2
                   || x −         ck ϕk || = || x|| −             | ck |2 || ϕk ||2
                            k=1                             k=1

                                                  9

Страницы