Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

{ϕ
k
} X
x, y ∈ X
(x, y) =
∞
X
k=1
c
k
(x)c
k
(y)||ϕ
k
||
2
, (3)
c
k
(x) =
(x, ϕ
k
)
||ϕ
k
||
2
, c
k
(y) =
(y, ϕ
k
)
||ϕ
k
||
2
.
y = x
{ϕ
k
} {ϕ
k
} X
n ∈ N
s
n
=
n
X
k=1
c
k
(x)ϕ
k
(s
n
, y) =
n
X
k=1
c
k
(x)(ϕ
k
, y) =
n
X
k=1
c
k
(x)(y, ϕ
k
) =
n
X
k=1
c
k
(x)c
k
(y)||ϕ
k
||
2
n → ∞
2
l
2
L
2
[a, b]
H
H
{e
k
}
x ∈ H {e
k
}
(x, e
k
). n
s
n
=
n
X
k=1
(x, e
k
)e
k
.
lim
n→∞
||x − s
n
|| = 0 ⇔
∞
X
k=1
|(x, e
k
)|
2
= ||x||
2
.
è íåðàâåíñòâîì Áåññåëÿ (1).
  Ïðåäëîæåíèå 6. Îðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà {ϕk } ïîëíà â X òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà ëþáûå ýëåìåíòû x, y ∈ X óäîâëåòâîðÿþò îáîáùåí-
íîìó óðàâíåíèþ çàìêíóòîñòè
                                            ∞
                                            X
                               (x, y) =           ck (x)ck (y)|| ϕk ||2 ,                                   (3)
                                            k=1

ãäå
                                       (x, ϕk )                       (y, ϕk )
                            ck (x) =             ,        ck (y) =              .
                                       || ϕk ||2                      || ϕk ||2
  Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè y = x èç óðàâíåíèÿ (3) ïîëó÷àåò-
ñÿ ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ (2), à çíà÷èò (ïî ïðåäëîæåíèþ 5) è ïîëíîòà ñèñòåìû
{ϕk }. Îáðàòíî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî îðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà {ϕk } ïîëíà â X .
Äëÿ ëþáîãî n ∈ N èç ôîðìóëû
                                              n
                                              X
                                       sn =           ck (x)ϕk
                                               k=1

èìååì
                   n
                   X                        n
                                            X                              n
                                                                           X
      (sn , y) =         ck (x)(ϕk , y) =          ck (x)(y, ϕk ) =                 ck (x)ck (y)|| ϕk ||2
                   k=1                      k=1                            k=1

è îñòàåòñÿ ïåðåéòè ê ïðåäåëó ïðè n → ∞.
                                                                                                      2
   Ïðèâåäåì êðèòåðèé ïîëíîòû îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìû â ïðîèçâîëüíîì
ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå. Íàïîìíèì, ÷òî ïðîñòðàíñòâà l2 è L2 [a, b] ãèëü-
áåðòîâû.
   Ïóñòü H  ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, ò.å. ïîëíîå áåñêîíå÷íîìåðíîå ñåïà-
ðàáåëüíîå ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì. Âîçüìåì â H îðòî-
íîðìèðîâàííóþ ñ÷åòíóþ ñèñòåìó {ek }. Êîýôôèöèåíòû Ôóðüå ïðîèçâîëüíîãî
ýëåìåíòà x ∈ H ïî ñèñòåìå {ek } ñîâïàäàþò ñî ñêàëÿðíûìè ïðîèçâåäåíèÿ-
ìè (x, ek ). Ñîîòâåòñòâåííî, n-ÿ ÷àñòè÷íàÿ ñóììà ðÿäà Ôóðüå çàïèñûâàåòñÿ â
âèäå
                                              n
                                              X
                                       sn =          (x, ek )ek .
                                              k=1
Ïî ïðåäëîæåíèþ 5,
                                                          ∞
                                                          X
                     lim || x − sn || = 0 ⇔                     |(x, ek )|2 = || x||2 .
                     n→∞
                                                          k=1


                                                     10

Страницы