Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

{e
k
} H
H
{e
k
}
x 6= θ
(x, e
k
) = 0 k ∈ N.
x
∞
X
k=1
(x, e
k
)e
k
= θ 6= x.
{e
k
}
(y ∈ H) ∧ ((y, e
k
) = 0 k ∈ N) ⇒ (y = θ). (4)
x ∈ H
a
k
= (x, e
k
), k ∈ N.
m, n ∈ N m > n
||s
m
−s
n
||
2
= (s
m
−s
n
, s
m
−s
n
) =
m
X
j=n+1
a
j
e
j
,
m
X
k=n+1
a
k
e
k
!
=
m
X
k=n+1
|a
k
|
2
. (5)
∞
X
k=1
|a
k
|
2
≤ ||x||
2
. (6)
||s
m
− s
n
||
2
→ 0 m, n → ∞,
{s
n
}
H x
0
∈ H
lim
n→∞
||x
0
− s
n
|| = 0,
x
0
=
∞
X
k=1
(x, e
k
)e
k
.
x = x
0
(x
0
− x, e
k
) = 0 k ∈ N. (7)
n, k ∈ N n > k
(s
n
, e
k
) =
n
X
j=1
a
j
e
j
, e
k
!
= a
k
(e
k
, e
k
) = a
k
= (x, e
k
)
   Ïðåäëîæåíèå 7. Îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà {ek } ïîëíà â H òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà â H íå ñóùåñòâóåò íåíóëåâîãî ýëåìåíòà, îðòîãîíàëü-
íîãî âñåì ýëåìåíòàì ñèñòåìû {ek }.
   Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò ýëåìåíò x 6= θ, òà-
êîé, ÷òî
                      (x, ek ) = 0 äëÿ âñåõ k ∈ N.
Òîãäà ýëåìåíò x íå ðàçëîæèì â ðÿä Ôóðüå, òàê êàê
                                         ∞
                                         X
                                               (x, ek )ek = θ 6= x.
                                         k=1

   2. Ïóñòü òåïåðü ñèñòåìà {ek } òàêîâà, ÷òî âåðíà èìïëèêàöèÿ:
                (y ∈ H) ∧ ((y, ek ) = 0 äëÿ âñåõ k ∈ N) ⇒ (y = θ).                                                  (4)
Âîçüìåì ïðîèçâîëüíî x ∈ H è îáîçíà÷èì
                                     ak = (x, ek ),            k ∈ N.
Äëÿ ëþáûõ m, n ∈ N, m > n, èìååì
                                                          m                 m
                                                                                            !       m
                                                          X                 X                       X
            2
 || sm − sn || = (sm − sn , sm − sn ) =                           aj ej ,           ak ek       =           | ak |2 . (5)
                                                          j=n+1             k=n+1                   k=n+1

Ïî íåðàâåíñòâó Áåññåëÿ
                                          ∞
                                          X
                                                 | ak |2 ≤ || x||2 .                                                (6)
                                           k=1
Èç (5) è (6) ïî êðèòåðèþ Êîøè ñõîäèìîñòè ðÿäà ïîëó÷àåì
                          || sm − sn ||2 → 0 ïðè m, n → ∞,
ò.å. ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {sn } ôóíäàìåíòàëüíà. Â ñèëó ïîëíîòû ïðîñòðàíñòâà
H ñóùåñòâóåò ýëåìåíò x0 ∈ H òàêîé, ÷òî
                                          lim || x0 − sn || = 0,
                                         n→∞
ò.å.                                              ∞
                                                  X
                                            0
                                          x =             (x, ek )ek .
                                                   k=1
   Äîêàæåì, ÷òî x = x .  ñèëó (4) äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî
                               0


                               (x0 − x, ek ) = 0 äëÿ âñåõ k ∈ N.                                                    (7)
Äëÿ ëþáûõ n, k ∈ N, n > k , èìååì
                                   n
                                                      !
                                   X
                (sn , ek ) =             aj ej , ek       = ak (ek , ek ) = ak = (x, ek )
                                   j=1

                                                          11

Страницы