Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

(x
0
− x, e
k
) = (x
0
, e
k
) − (x, e
k
) = (x
0
, e
k
) − (s
n
, e
k
) = (x
0
− s
n
, e
k
).
n → ∞
2
{ϕ
k
} H
H
{ϕ
k
} {ϕ
k
}
{e
k
} e
k
= ϕ
k
/||ϕ
k
||
{e
k
}
H a
1
, a
2
, . . .
P
∞
k=1
|a
k
|
2
x ∈ H
{a
k
}
a
k
= (x, e
k
) k ∈ N
∞
X
k=1
|a
k
|
2
= ||x||
2
.
H
L ⊂ H
x, y L α, β
αx + βy L
x
n
∈ L x
n
→ x
0
n → ∞ x
0
∈ L
L H
x ∈ H \ L L
g
1
, g
2
, . . . , g
n
L
e
1
, e
2
, . . . , e
n
x L
dist (x, L) = ||x −
n
X
k=1
(x, e
k
) e
k
||, (1)
è, çíà÷èò,

       (x0 − x, ek ) = (x0 , ek ) − (x, ek ) = (x0 , ek ) − (sn , ek ) = (x0 − sn , ek ).
Îòñþäà, ïîëàãàÿ n → ∞ è ïîëüçóÿñü ñâîéñòâîì íåïðåðûâíîñòè ñêàëÿðíîãî
ïðîèçâåäåíèÿ, ïîëó÷àåì (7).
                                                                     2
   Èç ïðåäëîæåíèÿ 7 ñëåäóåò, ÷òî îðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà {ϕk } ïîëíà â H òî-
ãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà â H íå ñóùåñòâóåò íåíóëåâîãî ýëåìåíòà, îðòîãîíàëü-
íîãî âñåì ýëåìåíòàì ñèñòåìû {ϕk } (äåéñòâèòåëüíî, ïîëíîòà ñèñòåìû {ϕk }
ðàâíîñèëüíà ïîëíîòå îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìû {ek }, ãäå ek = ϕk /||ϕk ||).
  Ïðåäëîæåíèÿ 5 è 7 ñóùåñòâåííî äîïîëíÿåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
   Òåîðåìà Ðèññà  Ôèøåðà. Ïóñòü {ek }  ïðîèçâîëüíàÿ îðòîíîðìèðî-
âàííàÿ ñèñòåìà â P
                 ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H è ïóñòü ÷èñëà a1 , a2 , . . .
                   ∞
òàêîâû, ÷òî ðÿä    k=1 | ak | ñõîäèòñÿ.Òîãäà ñóùåñòâóåò ýëåìåíò x ∈ H
                             2

òàêîé, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ak } ÿâëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ êî-
ýôôèöèåíòîâ Ôóðüå ýòîãî ýëåìåíòà, ò.å. ak = (x, ek ) äëÿ âñåõ k ∈ N, è
ïðè ýòîì âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
                                    ∞
                                    X
                                           | ak |2 = || x||2 .
                                     k=1

  Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ïðèâîäèòñÿ â ó÷åáíèêàõ ïî ôóíêöèîíàëüíî-
ìó àíàëèçó (ñì., íàïðèìåð, [10]).


    Ÿ 4. Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ýëåìåíòà íàèëó÷øåãî
          ïðèáëèæåíèÿ â ïðîèçâîëüíîì ïîäïðîñòðàíñòâå
                    ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà

     Ïîäïðîñòðàíñòâîì ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà H íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî
L ⊂ H òàêîå, ÷òî âûïîëíåíû äâà ñâîéñòâà:
     1) äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ x, y èç L è ëþáûõ ÷èñåë α, β ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ
αx + βy ïðèíàäëåæèò L (ñâîéñòâî ëèíåéíîñòè) ;
     2) åñëè xn ∈ L è xn → x0 ïðè n → ∞, òî x0 ∈ L (ñâîéñòâî çàìêíóòîñòè).
     Ïóñòü L  ïðîèçâîëüíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà H
è ïóñòü x ∈ H \ L. Åñëè L êîíå÷íîìåðíî è èçâåñòåí êàêîé-íèáóäü áàçèñ
g1 , g2 , . . . , gn ýòîãî ïîäïðîñòðàíñòâà , òî ìåòîäîì îðòîãîíàëèçàöèè Øìèä-
òà (ñì. çàìå÷àíèå 1) ìîæíî ïîñòðîèòü â L îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ
e1 , e2 , . . . , en è äëÿ âû÷èñëåíèÿ ðàññòîÿíèÿ îò x äî L ïðèìåíèòü ôîðìóëó
                                                     n
                                                     X
                           dist (x, L) = || x −            (x, ek ) ek ||,                  (1)
                                                     k=1

                                                12

Страницы