Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

L ˆy ∈ L
dist (x, L) = ||x − ˆy||, (2)
x
L
||x + y||
2
+ ||x − y||
2
= 2(||x||
2
+ ||y||
2
), (3)
x ∈ H \ L
L
d = dist (x, L) n ∈ N
y
n
∈ L
d
2
≤ ||x − y
n
||
2
≤ d
2
+
1
n
. (4)
||(x −y
m
) + (x − y
n
)||
2
+ ||(x −y
m
) − (x − y
n
)||
2
= 2(||x − y
m
||
2
+ ||x −y
n
||
2
)
||y
m
− y
n
||
2
= 2(||x − y
m
||
2
+ ||x − y
n
||
2
) − 4||x − (y
m
+ y
n
)/2||
2
. (5)
(1/2)(y
m
+ y
n
) ∈ L
||x − (y
m
+ y
n
)/2||
2
≥ d
2
.
||y
m
− y
n
||
2
≤ 2

d
2
+
1
n
+
d
2
+
1
m

− 4 d
2
= 2
1
n
+
1
m
.
{y
n
}
H L ˆy
ˆy ∈ L ˆy = lim
n→∞
y
n
.
||x − ˆy|| = lim
n→∞
||x − y
n
|| = d.
y
0
∈ L ||x−y
0
|| =
d
4 d
2
= 2(||x−ˆy||
2
+||x−y
0
||
2
) = ||ˆy−y
0
||
2
+4||x−(ˆy+y
0
)/2||
2
≥ ||ˆy−y
0
||
2
+4 d
2
||ˆy − y
0
|| = 0 ˆy = y
0
2
êîòîðàÿ ñëåäóåò èç ìèíèìàëüíîãî ñâîéñòâà êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå. Â îáùåì
ñëó÷àå (ïðîñòðàíñòâî L ìîæåò áûòü áåñêîíå÷íîìåðíûì) ýëåìåíò ŷ ∈ L, äëÿ
êîòîðîãî âûïîëíåíî ðàâåíñòâî
                                   dist (x, L) = || x − ŷ||,                            (2)
íàçûâàåòñÿ ýëåìåíòîì íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ ýëåìåíòà x ïîäïðîñòðàí-
ñòâîì L. Ïîëüçóÿñü òîæäåñòâîì ïàðàëëåëîãðàììà
                      || x + y||2 + || x − y||2 = 2(|| x||2 + || y||2 ),                 (3)
äîêàæåì ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå.
   Ïðåäëîæåíèå 8. Äëÿ ëþáîãî x ∈ H \ L ýëåìåíò íàèëó÷øåãî ïðèáëè-
æåíèÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì L ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåí.
   Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì d = dist (x, L). Äëÿ ëþáîãî n ∈ N ñóùå-
ñòâóåò yn ∈ L òàêîé, ÷òî
                                                  1
                         d2 ≤ || x − yn ||2 ≤ d2 + .             (4)
                                                  n
Ñîãëàñíî (3) èìååì
|| (x − ym ) + (x − yn )||2 + || (x − ym ) − (x − yn )||2 = 2(|| x − ym ||2 + || x − yn ||2 )
èëè
       || ym − yn ||2 = 2(|| x − ym ||2 + || x − yn ||2 ) − 4|| x − (ym + yn )/2||2 .    (5)
Ïîñêîëüêó (1/2)(ym + yn ) ∈ L, òî
                                 || x − (ym + yn )/2||2 ≥ d2 .
Ó÷èòûâàÿ (4) è (5), èìååì
                                                                        
                                      1              1                   1   1
       || ym − yn ||2 ≤ 2        d2 +         + d2 +          − 4 d2 = 2   +     .
                                      n              m                   n m
Îòñþäà âèäíî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {yn } ôóíäàìåíòàëüíà. Â ñèëó ïîëíî-
òû H è çàìêíóòîñòè ïîäïðîñòðàíñòâà L ñóùåñòâóåò ýëåìåíò ŷ òàêîé, ÷òî
                                  ŷ ∈ L è ŷ = lim yn .
                                                     n→∞

Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â (4), ïîëó÷èì
                            || x − ŷ|| = lim || x − yn || = d.
                                              n→∞

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò åùå îäèí ýëåìåíò y0 ∈ L òàêîé, ÷òî || x−y0 || =
d. Òîãäà ïî òîæäåñòâó ïàðàëëåëîãðàììà àíàëîãè÷íî (5) èìååì
4 d2 = 2(|| x− ŷ||2 +|| x−y0 ||2 ) = ||ŷ−y0 ||2 +4|| x−(ŷ+y0 )/2||2 ≥ ||ŷ−y0 ||2 +4 d2
è, ñëåäîâàòåëüíî, ||ŷ − y0 || = 0, ŷ = y0 .
                                                                                    2


                                                13

Страницы