Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ˆy pr
L
x
2
x ∈ H
pr
L
x
H L ort
L
x = x −pr
L
x
x L
pr
L
(x + y) = pr
L
x + pr
L
y, pr
L
(αx) = α pr
L
x,
ort
L
(x + y) = ort
L
x + ort
L
y, ort
L
(αx) = α ort
L
x,
α x y H
L H x
H \L ˆy x
L L g
1
, g
2
, . . . , g
n
(x − ˆy, g
k
) = 0 1 ≤ k ≤ n. (1)
ˆy
ˆy = γ
1
g
1
+ γ
2
g
2
+ ··· + γ
n
g
n
(2)
γ
1
(g
1
, g
1
) + γ
2
(g
2
, g
1
) + ··· + γ
n
(g
n
, g
1
) = (x, g
1
),
γ
1
(g
1
, g
2
) + γ
2
(g
2
, g
2
) + ··· + γ
n
(g
n
, g
2
) = (x, g
2
),
. . .
γ
1
(g
1
, g
n
) + γ
2
(g
2
, g
n
) + ··· + γ
n
(g
n
, g
n
) = (x, g
n
).
(3)
x ˆy
G(g
1
, g
2
, . . . , g
n
) =
(g
1
, g
1
) (g
2
, g
1
) . . . (g
n
, g
1
)
(g
1
, g
2
) (g
2
, g
2
) . . . (g
n
, g
2
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(g
1
, g
n
) (g
2
, g
n
) . . . (g
n
, g
n
)
g
1
, g
2
, . . . , g
n
ˆy
γ
1
, γ
2
, . . . , γ
n
ò.å. ýëåìåíò ŷ ñîâïàäàåò ñ îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèåé prL x.
                                                                                   2
   Îïåðàòîð, ñîïîñòàâëÿþùèé êàæäîìó ýëåìåíòó x ∈ H åãî îðòîãîíàëü-
íóþ ïðîåêöèþ prL x, íàçûâàåòñÿ îïåðàòîðîì îðòîãîíàëüíîãî ïðîåêòèðîâà-
íèÿ ïðîñòðàíñòâà H íà ïîäïðîñòðàíñòâî L. Ýëåìåíò ortL x = x − prL x íàçû-
âàåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðîì, îïóùåííûì èç x íà L. Ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà:
                prL (x + y) = prL x + prL y,          prL (αx) = α prL x,
              ortL (x + y) = ortL x + ortL y,          ortL (αx) = α ortL x,
ãäå α  ëþáîå ÷èñëî, x è y  ïðîèçâîëüíûå ýëåìåíòû èç H .


        Ÿ 6. Âûðàæåíèå âåëè÷èíû íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ
                    ÷åðåç îïðåäåëèòåëü Ãðàìà

   Ïóñòü L  êîíå÷íîìåðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà H , x
 ýëåìåíò èç H \ L è ïóñòü ŷ  ýëåìåíò íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ ýëåìåíòà x
ïîäïðîñòðàíñòâîì L. Âûáåðåì â L êàêîé-íèáóäü áàçèñ g1 , g2 , . . . , gn . Ñîãëàñíî
ïðåäëîæåíèþ 9,
                      (x − ŷ, gk ) = 0 äëÿ âñåõ 1 ≤ k ≤ n.                            (1)
Ðàçëîæèì âåêòîð ŷ ïî âûáðàííîìó áàçèñó:
                             ŷ = γ1 g1 + γ2 g2 + · · · + γn gn                        (2)
è çàïèøåì óñëîâèÿ (1) â âèäå ñèñòåìû óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî êîýôôèöèåí-
òîâ ýòîãî ðàçëîæåíèÿ:
               γ (g , g ) + γ2 (g2 , g1 ) + · · · + γn (gn , g1 ) = (x, g1 ),
             
              1 1 1
             
               γ1 (g1 , g2 ) + γ2 (g2 , g2 ) + · · · + γn (gn , g2 ) = (x, g2 ),
                                                                                       (3)
                                             ...
               γ1 (g1 , gn ) + γ2 (g2 , gn ) + · · · + γn (gn , gn ) = (x, gn ).
             

Ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 8 äëÿ äàííîãî x ýëåìåíò ŷ ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåí.
Çíà÷èò, ñèñòåìà (3) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, à îïðåäåëèòåëü ýòîé ñèñòå-
ìû
                                         (g1 , g1 ) (g2 , g1 ) . . . (gn , g1 )
                                         (g , g ) (g2 , g2 ) . . . (gn , g2 )
               G(g1 , g2 , . . . , gn ) = 1 2
                                         ............................
                                         (g1 , gn ) (g2 , gn ) . . . (gn , gn )
îòëè÷åí îò íóëÿ. Ýòîò îïðåäåëèòåëü íàçûâàåòñÿ îïðåäåëèòåëåì Ãðàìà ñèñòå-
ìû âåêòîðîâ g1 , g2 , . . . , gn .
   Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íàéòè âåêòîð ŷ äîñòàòî÷íî ðåøèòü ñèñòåìó óðàâ-
íåíèé (3) è íàéäåííûå çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ γ1 , γ2 , . . . , γn ïîäñòàâèòü â

                                              15

Страницы