Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

d = ||x − ˆy||
(x − ˆy, ˆy) = 0
d
2
= (x − ˆy, x − ˆy) = (x − ˆy, x) = (x, x) − ((ˆy, x),
(ˆy, x) = (x, x) −d
2
.
γ
1
(g
1
, x) + ··· + γ
n
(g
n
, x) = (x, x) − d
2
. (4)
(x, x) − d
2
(g
1
, x) . . . (g
n
, x)
(x, g
1
) (g
1
, g
1
) . . . (g
n
, g
1
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(x, g
n
) (g
1
, g
n
) . . . (g
n
, g
n
)
= 0. (5)
d
2
=
G(x, g
1
, . . . , g
n
)
G(g
1
, . . . , g
n
)
. (6)
g
1
, g
2
, . . . , g
n
G(g
1
, . . . , g
n
) =
1 γ
k
= (x, g
k
) 1 ≤ k ≤ n
d
2
= (x, x) −
n
X
k=1
|(x, g
k
)|
2
g
1
, g
2
, . . . , g
n
G(g
1
, g
2
, . . . , g
n
) > 0. (7)
n = 2
G(g
1
, g
2
) =
(g
1
, g
1
) (g
2
, g
1
)
(g
1
, g
2
) (g
2
, g
2
)
= (g
1
, g
1
)(g
2
, g
2
) − |(g
1
, g
2
)|
2
> 0
g
1
g
2
n = 3
G(g
1
, g
2
, g
3
)
G(g
1
, g
2
)
= ||g
3
− pr
L
2
g
3
||
2
> 0,
ôîðìóëó (2). Ñ÷èòàÿ ýòè çíà÷åíèÿ èçâåñòíûìè, âû÷èñëèì âåëè÷èíó íàèëó÷-
øåãî ïðèáëèæåíèÿ d = || x − ŷ|| (ñì. (2.2)).
  Èç ïðåäëîæåíèÿ 9 ñëåäóåò, ÷òî (x − ŷ, ŷ) = 0. Ïîýòîìó
                d2 = (x − ŷ, x − ŷ) = (x − ŷ, x) = (x, x) − ((ŷ, x),
                                     (ŷ, x) = (x, x) − d2 .
Ó÷èòûâàÿ (2), èìååì
                      γ1 (g1 , x) + · · · + γn (gn , x) = (x, x) − d2 .                     (4)
Èç (3) è (4) âèäíî, ÷òî
                         (x, x) − d2 (g1 , x) . . . (gn , x)
                           (x, g1 )  (g1 , g1 ) . . . (gn , g1 )
                                                                 = 0.                       (5)
                         ...............................
                           (x, gn )  (g1 , gn ) . . . (gn , gn )
Äåéñòâèòåëüíî, ñîãëàñíî (3) è (4) ïåðâûé ñòîëáåö ýòîãî îïðåäåëèòåëÿ ÿâëÿ-
åòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé åãî îñòàëüíûõ ñòîëáöîâ. Ïîëüçóÿñü ñâîéñòâàìè
îïðåäåëèòåëåé, èç (5) ïîëó÷àåì ôîðìóëó
                                            G(x, g1 , . . . , gn )
                                     d2 =                          .                        (6)
                                             G(g1 , . . . , gn )
 ÷àñòíîñòè, åñëè áàçèñ g1 , g2 , . . . , gn îðòîíîðìèðîâàííûé, òî G(g1 , . . . , gn ) =
1, γk = (x, gk ) äëÿ 1 ≤ k ≤ n è ôîðìóëà (6) ïðèâîäèòñÿ ê ðàâåíñòâó
                                                    n
                                                    X
                                 2
                                d = (x, x) −               |(x, gk )|2
                                                     k=1

(ñðàâíèòå ñ ôîðìóëàìè (2.5) è (2.6)).
   Çàìå÷àíèå 2. Îïðåäåëèòåëü Ãðàìà ïðîèçâîëüíîé ëèíåéíî íåçàâèñèìîé
ñèñòåìû âåêòîðîâ g1 , g2 , . . . , gn ïîëîæèòåëåí:
                                     G(g1 , g2 , . . . , gn ) > 0.                          (7)
Äåéñòâèòåëüíî, íåðàâåíñòâî (7) äëÿ n = 2 ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà Êîøè 
Áóíÿêîâñêîãî:
                         (g1 , g1 ) (g2 , g1 )
         G(g1 , g2 ) =                         = (g1 , g1 )(g2 , g2 ) − |(g1 , g2 )|2 > 0
                         (g1 , g2 ) (g2 , g2 )
(ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî ñòðîãîå, òàê êàê âåêòîðû g1 è g2 íåïðîïîðöèîíàëüíû).
Äàëåå, ïðè n = 3 ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 9 è ðàâåíñòâó (6) èìååì
                          G(g1 , g2 , g3 )
                                           = || g3 − prL2 g3 ||2 > 0,
                           G(g1 , g2 )
                                                  16

Страницы