Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

x ∈ X
x = y
1
+ z
1
, y
1
∈ V, z
1
∈ W.
(y − y
1
) + (z − z
1
) = θ y − y
1
= z
1
− z.
y −y
1
∈ V z
1
−z ∈ W V ∩W =
{θ} y = y
1
z = z
1
2
X X = V u W
V ∩ W = {θ}
dim X = dim V + dim W.
V V
1
, . . . , V
n
X x ∈ V
x = x
1
+ ··· + x
n
, x
1
∈ V
1
, . . . , x
n
∈ V
n
,
V V
1
, . . . , V
n
V = V
1
u ··· u V
n
. (2)
V = X R
n
n n
R
n
V
1
, . . . , V
n
θ z ∈ V
k
∩ V
j
z = z + θ, z ∈ V
k
, θ ∈ V
j
,
z = θ + z, θ ∈ V
k
, z ∈ V
j
,
z
z = z
1
+ ··· + z
n
, z
1
∈ V
1
, . . . , z
n
∈ V
n
,
z = θ
V
0
V
1
H V
0
⊂ V
1
W
0
= {z ∈ V
1
|(y, z) = 0 y ∈ V
0
}
V
0
V
1
  Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî ýëåìåíòà x ∈ X
êðîìå (1) èìååòñÿ åùå îäíî ðàçëîæåíèå

                         x = y1 + z1 , y1 ∈ V, z1 ∈ W.
Òîãäà
                (y − y1 ) + (z − z1 ) = θ èëè y − y1 = z1 − z.
Îòñþäà, çàìå÷àÿ, ÷òî y − y1 ∈ V , z1 − z ∈ W è ïîëüçóÿñü óñëîâèåì V ∩ W =
{θ}, ïîëó÷àåì y = y1 è z = z1 .
                                                                           2
  Çàìå÷àíèå 3.  êóðñå ëèíåéíîé àëãåáðû äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ïðîñòðàíñòâî
X êîíå÷íîìåðíî, äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ðàçëîæåíèå X = V u W èìååò ìåñòî,
åñëè êðîìå óñëîâèÿ V ∩ W = {θ} âûïîëíåíî ðàâåíñòâî

                            dim X = dim V + dim W.

   Ïóñòü V , V1 , . . . , Vn  íåíóëåâûå ïîäïðîñòðàíñòâà ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà
X . Åñëè êàæäûé ýëåìåíò x ∈ V îäíîçíà÷íî ïðåäñòàâèì â âèäå
                  x = x1 + · · · + xn ,      x1 ∈ V1 , . . . , xn ∈ Vn ,
òî ãîâîðÿò, ÷òî V ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé ñóììîé ïîäïðîñòðàíñòâ V1 , . . . , Vn è ïè-
øóò
                                V = V1 u · · · u Vn .                          (2)
 ÷àñòíîñòè, çäåñü ìîæåò áûòü V = X . Íàïðèìåð, ïðîñòðàíñòâî Rn åñòü ïðÿ-
ìàÿ ñóììà n îäíîìåðíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ, îïðåäåëåííûõ ëþáûìè n ëèíåéíî
íåçàâèñèìûìè âåêòîðàìè. Êðîìå òîãî, ïðîñòðàíñòâî Rn ìîæíî ïðåäñòàâèòü
ðàçíûìè ñïîñîáàìè â ôîðìå ïðÿìîé ñóììû è íåîäíîìåðíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ.
   Îòìåòèì, ÷òî â ðàçëîæåíèè (2) âñÿêèå äâà èç ïîäïðîñòðàíñòâ V1 , . . . , Vn
èìåþò îáùèì îäèí ëèøü ýëåìåíò θ. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè z ∈ Vk ∩ Vj , òî èç
ðàçëîæåíèé
                         z = z + θ,        z ∈ Vk ,    θ ∈ Vj ,
                         z = θ + z,        θ ∈ Vk ,    z ∈ Vj ,
â ñèëó åäèíñòâåííîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ z â âèäå ñóììû

                   z = z1 + · · · + zn ,     z1 ∈ V1 , . . . , zn ∈ Vn ,
ïîëó÷àåì z = θ.
   Ïóñòü V0 è V1  äâà ðàçëè÷íûõ ïîäïðîñòðàíñòâà ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà
H , ïðè÷åì V0 ⊂ V1 . Òîãäà ìíîæåñòâî
                  W0 = {z ∈ V1 | (y, z) = 0 äëÿ âñåõ y ∈ V0 }
íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíûì äîïîëíåíèåì ïîäïðîñòðàíñòâà V0 â V1 .

                                            18

Страницы