Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

V
k
k ∈ Z V
V
k
V =
M
k∈Z
V
k
,
x ∈ V
x =
X
k∈Z
x
k
, x
k
∈ V
k
,
H
k ∈ Z x
k
x V
k
L
2
[−π, π]
L
2
[−π, π]
(f, g) =
π
Z
−π
f(t)g(t) dt, ||f|| =
p
(f, f).
{1, sin kt, cos kt | k ∈ N} (1)
L
2
[−π, π] f ∈
L
2
[−π, π]
a
0
=
1
π
π
Z
−π
f(t) dt, a
k
=
1
π
π
Z
−π
f(t) cos kt dt, b
k
=
1
π
π
Z
−π
f(t) sin kt dt, k ∈ N.
(2)
f ∈ L
2
[−π, π]
a
0
2
+
∞
X
k=1
a
k
cos kt + b
k
sin kt (3)
f L
2
[−π, π] f ∈ L
2
[−π, π]
lim
n→∞
||f − S
n
|| = 0,
ïîïàðíî îðòîãîíàëüíûå ïîäïðîñòðàíñòâà Vk , k ∈ Z. Ãîâîðÿò, ÷òî V ÿâëÿåòñÿ
îðòîãîíàëüíîé ñóììîé ïîäïðîñòðàíñòâ Vk è ïèøóò
                                                      M
                                              V =           Vk ,
                                                      k∈Z

åñëè êàæäûé ýëåìåíò x ∈ V îäíîçíà÷íî ïðåäñòàâèì â âèäå
                                              X
                                       x=           xk ,    xk ∈ Vk ,
                                              k∈Z

ãäå ñõîäèìîñòü ðÿäà ïîíèìàåòñÿ ïî íîðìå ïðîñòðàíñòâà H . Èç îäíîçíà÷íîñòè
ýòîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ïðè êàæäîì k ∈ Z ýëåìåíò xk ñîâïàäàåò ñ
îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèåé ýëåìåíòà x íà Vk .

               Ÿ 8. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû Ôóðüå â L2 [−π, π]

   Íàïîìíèì, ÷òî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è íîðìà â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàí-
ñòâå L2 [−π, π] îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì
                                      Zπ                                 p
                           (f, g) =        f (t)g(t) dt,      ||f || =    (f, f ).
                                      −π

Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ñèñòåìà

                                      {1, sin kt, cos kt | k ∈ N}                                      (1)
îðòîãîíàëüíà è ïîëíà â L2 [−π, π]. Êîýôôèöèåíòû Ôóðüå ôóíêöèè f ∈
L2 [−π, π] ïî ýòîé ñèñòåìå îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè
          Zπ                           Zπ                                    Zπ
      1                          1                                      1
 a0 =          f (t) dt,    ak =            f (t) cos kt dt,       bk =           f (t) sin kt dt, k ∈ N.
      π                          π                                      π
          −π                          −π                                     −π
                                                                    (2)
  Ïî ñâîéñòâó ïîëíîòû ñèñòåìû (1) äëÿ êàæäîé ôóíêöèè f ∈ L [−π, π] ðÿä                      2

Ôóðüå
                            ∞
                      a0 X
                         +    ak cos kt + bk sin kt                 (3)
                       2
                                            k=1

ñõîäèòñÿ ê f â ïðîñòðàíñòâå L2 [−π, π]. Èíà÷å ãîâîðÿ, äëÿ ëþáîé f ∈ L2 [−π, π]
èìååò ìåñòî ïðåäåëüíîå ñîîòíîøåíèå

                                           lim || f − Sn || = 0,
                                           n→∞




                                                      20

Страницы