Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

W
0
V
0
V
1
H
V
1
= V
0
u W
0
z
1
, z
2
∈ W
0
(y, α
1
z
1
+ α
2
z
2
) = ¯α
1
(y, z
1
) + ¯α
2
(y, z
2
) = 0
y ∈ V
0
α
1
, α
2
α
1
z
1
+ α
2
z
2
∈ W
0
z
n
∈ W
0
z
n
→ z
0
y ∈ V
0
(y, z
n
) → (y, z
0
),
(y, z
n
) = 0 z
0
∈ W
0
W
0
H
x ∈ V
1
y
∗
x V
0
z
∗
= x − y
∗
z
∗
∈ V
1
x y
∗
V
1
(z
∗
, y) = (x − y
∗
, y) = 0 y ∈ V
0
,
z
∗
∈ W
0
x ∈ V
1
x = y + z, y ∈ V
0
, z ∈ W
0
. (3)
x ∈ V
0
∩W
0
(x, x) = 0, x = θ V
0
∩W
0
=
{θ}
2
P
0
: V
1
→ V
0
Q
0
: V
1
→ W
0
x ∈ V
1
y = P
0
x z = Q
0
x
V W H
V ⊥ W V
W
V = V
1
u ··· u V
n
,
V
1
, . . . , V
n
V
i
⊥ V
j
i 6= j
H V
V
1
, . . . , V
n
V = V
1
⊕ ··· ⊕ V
n
.
H
L H
H
H
   Ïðåäëîæåíèå 11. Îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå W0 ïîäïðîñòðàíñòâà V0
â V1 ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà H è èìååò
ìåñòî ðàâåíñòâî V1 = V0 u W0 .
   Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè z1 , z2 ∈ W0 , òî
                  (y, α1 z1 + α2 z2 ) = ᾱ1 (y, z1 ) + ᾱ2 (y, z2 ) = 0
äëÿ âñåõ y ∈ V0 è ëþáûõ ÷èñåë α1 , α2 . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî α1 z1 + α2 z2 ∈ W0 .
Êðîìå òîãî, åñëè zn ∈ W0 è zn → z0 , òî äëÿ ëþáîãî y ∈ V0 ïî ñâîéñòâó
íåïðåðûâíîñòè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ

                                  (y, zn ) → (y, z0 ),
ãäå âñå (y, zn ) = 0. Çíà÷èò, z0 ∈ W0 . Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî W0 ÿâëÿåòñÿ
ïîäïðîñòðàíñòâîì â H .
    Âîçüìåì ïðîèçâîëüíî x ∈ V1 è îáîçíà÷èì ÷åðåç y ∗ îðòîãîíàëüíóþ ïðîåê-
öèþ ýëåìåíòà x íà V0 . Ïîñëå ýòîãî ïîëîæèì z ∗ = x − y ∗ . Òîãäà, âî-ïåðâûõ,
z ∗ ∈ V1 (òàê êàê x è y ∗ ëåæàò â V1 ) è, âî-âòîðûõ, ïî ïðåäëîæåíèþ 9
                 (z ∗ , y) = (x − y ∗ , y) = 0 äëÿ âñåõ y ∈ V0 ,
ò.å. z ∗ ∈ W0 . Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïðîèçâîëüíîãî x ∈ V1 ñóùåñòâóåò ðàçëîæå-
íèå
                           x = y + z, y ∈ V0 , z ∈ W0 .                       (3)
Çàìåòèì òåïåðü, ÷òî åñëè x ∈ V0 ∩W0 , òî (x, x) = 0, x = θ è, çíà÷èò, V0 ∩W0 =
{θ} . Îòñþäà ïî ïðåäëîæåíèþ 10 ñëåäóåò åäèíñòâåííîñòü ðàçëîæåíèÿ (3).
                                                                          2
   Îòìåòèì, ÷òî åñëè P0 : V1 → V0 è Q0 : V1 → W0  îðòîãîíàëüíûå ïðîåê-
òîðû, òî â ðàçëîæåíèè (29) äëÿ ëþáîãî x ∈ V1 èìååì y = P0 x è z = Q0 x.
  Äâà ïîäïðîñòðàíñòâà V è W ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà H íàçûâàþòñÿ
îðòîãîíàëüíûìè (îáîçíà÷åíèå: V ⊥ W ), åñëè ëþáîé âåêòîð èç V îðòîãîíàëåí
êàæäîìó âåêòîðó ïîäïðîñòðàíñòâà W .
  Ïóñòü
                                V = V1 u · · · u Vn ,
ãäå V1 , . . . , Vn  íåíóëåâûå ïîïàðíî îðòîãîíàëüíûå (ò.å. Vi ⊥ Vj ïðè i 6= j )
ïîäïðîñòðàíñòâà ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà H . Òîãäà V íàçûâàþò îðòîãî-
íàëüíîé ñóììîé ïîäïðîñòðàíñòâ V1 , . . . , Vn è ïèøóò
                                V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vn .
Íàïðèìåð, ñàìî ïðîñòðàíñòâî H ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíîé ñóììîé ëþáîãî ñâî-
åãî ïîäïðîñòðàíñòâà L è åãî îðòîãîíàëüíîãî äîïîëíåíèÿ (â H ).
   Â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H îïðåäåëåíû òàêæå îðòîãîíàëüíûå ñóììû
ñ÷åòíûõ íàáîðîâ ïîäïðîñòðàíñòâ. Ïóñòü, íàïðèìåð, â H çàäàíû íåíóëåâûå

                                           19

Страницы