Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

{S
n
}
S
0
(t) =
a
0
2
, S
n
(t) =
a
0
2
+
n
X
k=1
a
k
cos kt + b
k
sin kt, n ∈ N. (4)
||sin kt|| = ||cos kt|| =
√
π, k ∈ N,
1
π
π
Z
−π
|f(t)|
2
dt =
|a
0
|
2
2
+
∞
X
k=1
|a
k
|
2
+ |b
k
|
2
. (5)
||f − S
n
||
2
=
π
Z
−π
|f(t)|
2
dt −π
|a
0
|
2
2
+
n
X
k=1
|a
k
|
2
+ |b
k
|
2
!
. (6)
lim
k→∞
a
k
= lim
k→∞
b
k
= 0,
L
2
[−π, π]
f L
1
[−π, π]
[−π, π]
f t = 0
f
[−π, π]
A ⊂ [−π, π]
[−π, π]
f A
f ∈ L
2
[−π, π] t ∈ [−π, π]
f f(t)
σ
n
(t) =
S
0
(t) + ··· + S
n−1
(t)
n
, n ∈ N.
ãäå {Sn }  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà (3), ò.å.
                                                n
                  a0                  a0 X
          S0 (t) = ,         Sn (t) =   +  ak cos kt + bk sin kt, n ∈ N.              (4)
                  2                   2
                                               k=1

  Ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 5, ó÷èòûâàÿ, ÷òî
                                                       √
                        || sin kt|| = || cos kt|| =        π,    k ∈ N,
èìååì ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ:
                        Zπ                             ∞
                    1               2     | a0 |2 X
                             |f (t)| dt =        +  | ak |2 + | bk |2 .               (5)
                    π                        2
                        −π                            k=1

Êðîìå òîãî, â ñèëó (2.5),
                             Zπ                               n
                                                                                 !
                                                     | a0 |2 X
          || f − Sn ||2 =         |f (t)|2 dt − π           +   | ak |2 + | bk |2 .   (6)
                                                        2
                             −π                                  k=1

Èç ðàâåíñòâà (5) ïî íåîáõîäèìîìó óñëîâèþ ñõîäèìîñòè ÷èñëîâîãî ðÿäà ïîëó-
÷àåì, ÷òî
                                    lim ak = lim bk = 0,
                                    k→∞         k→∞

ò.å. êîýôôèöèåíòû Ôóðüå ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè ïðîñòðàíñòâà L2 [−π, π]
ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ. Èçâåñòíî, ÷òî ýòèì æå ñâîéñòâîì îáëàäàþò êîýôôèöè-
åíòû Ôóðüå ëþáîé ôóíêöèè f èç êëàññà L1 [−π, π].
   Ñôîðìóëèðóåì íåñêîëüêî âàæíûõ ðåçóëüòàòîâ î ïîòî÷å÷íîé ñõîäèìîñòè
(è ðàñõîäèìîñòè) òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ðÿäîâ Ôóðüå.
   (i) Äþ Áóà-Ðåéìîíä (1876): Ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíàÿ íà îòðåçêå [−π, π]
ôóíêöèÿ f , äëÿ êîòîðîé ðÿä Ôóðüå ðàñõîäèòñÿ â òî÷êå t = 0.
   (ii) Êîëìîãîðîâ (1923): Ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ f , èíòåãðèðóåìàÿ ïî Ëåáåãó
íà îòðåçêå [−π, π], äëÿ êîòîðîé ðÿä Ôóðüå íå ñõîäèòñÿ íè â îäíîé òî÷êå.
   (iii) Êàõàíå è Êàòöíåëüñîí (1965): Äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà A ⊂ [−π, π],
ìåðà Ëåáåãà êîòîðîãî ðàâíà íóëþ, ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíàÿ íà îòðåçêå [−π, π]
ôóíêöèÿ f , ðÿä Ôóðüå êîòîðîé ðàñõîäèòñÿ â êàæäîé òî÷êå ìíîæåñòâà A.
   (iv) Êàðëåñîí (1966): Åñëè f ∈ L2 [−π, π], òî äëÿ ïî÷òè âñåõ t ∈ [−π, π] ðÿä
Ôóðüå ôóíêöèè f ñõîäèòñÿ ê f (t).
   Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñðåäíèõ àðèôìåòè÷åñêèõ ÷àñòè÷íûõ ñóìì (34) îïðå-
äåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì
                                   S0 (t) + · · · + Sn−1 (t)
                    σn (t) =                                 ,    n ∈ N.
                                               n


                                                21

Страницы