ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
S
2n
(t) S
2n−1
(t)
g
n
(t) = 2
n
X
k=1
sin(2k − 1)t
2k − 1
. (8)
g
0
n
(t) =
sin 2nt
sin t
,
π/2n g
n
(t)
g
n
(π/2n) =
n
X
k=1
sin(2k − 1)(π/2n)
(2k − 1)(π/2n)
·
π
n
→
π
Z
0
sin t
t
dt ≈ 1, 8519,
f(0 + 0) = π/2 ≈ 1, 5707 n
g
n
(π/2n) f(π/2n)
2
∞
X
k=1
1
(2k − 1)
2
=
π
2
8
.
X
k∈Z
c
k
e
ikt
. (9)
e
ikt
= cos kt + i sin kt, cos kt = (e
ikt
+ e
−ikt
)/2, sin kt = i(e
−ikt
+ e
ikt
)/2.
c
k
=
1
2π
π
Z
−π
f(t)e
−ikt
dt (10)
c
0
= a
0
/2, c
k
= (a
k
− ib
k
)/2, c
−k
= (a
k
+ ib
k
)/2, k ∈ N. (11)
S
0
(t) = c
0
, S
n
(t) =
n
X
k=−n
c
k
e
ikt
, n ∈ Z. (12)
×àñòè÷íûå ñóììû S2n (t) è S2n−1 (t) ðÿäà (7) ñîâïàäàþò ñ íå÷åòíîé ôóíê- öèåé n X sin(2k − 1)t gn (t) = 2 . (8) 2k − 1 k=1 Ïðîèçâîäíàÿ ýòîé ôóíêöèè âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå sin 2nt gn0 (t) = , sin t è, ñëåäîâàòåëüíî, â òî÷êå π/2n ôóíêöèÿ gn (t) èìååò ëîêàëüíûé ìàêñèìóì. Èç ôîðìóëû (8) ïîëó÷èì n π sin(2k − 1)(π/2n) π Z X sin t gn (π/2n) = · → dt ≈ 1, 8519, (2k − 1)(π/2n) n t k=1 0 â òî âðåìÿ êàê f (0 + 0) = π/2 ≈ 1, 5707. Òàêèì îáðàçîì, ïðè áîëüøèõ n çíà÷åíèÿ gn (π/2n) îòëè÷àþòñÿ îò f (π/2n) ïðèáëèçèòåëüíî íà 18 %. 2 Îòìåòèì, ÷òî èç ðàâåíñòâà Ïàðñåâàëÿ (5) è ðàçëîæåíèÿ (7) ñëåäóåò ðàâåí- ñòâî ∞ X 1 π2 = . (2k − 1)2 8 k=1 Êîìïëåêñíàÿ ôîðìà òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäà Ôóðüå X ck eikt . (9) k∈Z ïîëó÷àåòñÿ èç (2) è (3) ñ ïîìîùüþ ôîðìóë Ýéëåðà eikt = cos kt + i sin kt, cos kt = (eikt + e−ikt )/2, sin kt = i(e−ikt + eikt )/2. Êîýôôèöèåíòû ðÿäà (9) âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå Zπ 1 ck = f (t)e−ikt dt (10) 2π −π è ñâÿçàíû ñ êîýôôèöèåíòàìè (2) ðàâåíñòâàìè c0 = a0 /2, ck = (ak − ibk )/2, c−k = (ak + ibk )/2, k ∈ N. (11) Ñîîòâåòñòâåííî, ÷àñòè÷íûå ñóììû (4) ïðèìóò âèä n X S0 (t) = c0 , Sn (t) = ck eikt , n ∈ Z. (12) k=−n 23
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- …
- следующая ›
- последняя »