Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

t ∈ [−π, π]
t ∈ (−π, π)
t ∈ (−π, π)
2
a > 0
t = πx/a
{1, sin (πk/a)x, cos (πk/a)x | k ∈ N} {e
i
π k
a
x
| k ∈ Z },
L
2
[−a, a]
{P
k
(x)}
P
0
(x) = 1, P
1
(x) = x, P
k
(x) =
1
k! 2
k
d
k
dx
k
(x
2
− 1)
k
, k ≥ 2. (1)
(x
2
− 1)
k
=
k
X
j=0
(−1)
j
k!
j!(k − j)!
x
2k−2j
.
k
P
k
(x) x
P
k
(x) =
1
2
k
[k/2]
X
j=0
(−1)
j
(2k − 2j)!
j!(k − j)!(k − 2j)!
x
k−2j
, (2)
[k/2] k/2
P
k
(x)
(2k)!
(k!)
2
2
k
=
2k(2k − 1) . . . (k + 1)
k! 2
k
.
(k + 1)P
k+1
(x) = (2k + 1)xP
k
(x) − kP
k−1
(x), k ≥ 1,
P
k
(1) = 1, P
k
(−1) = (−1)
k
, P
2k+1
(0) = 0, P
2k
(0) = (−1)
k
1 · 3 · 5 . . . (2k − 1)
(k!)2
k
.
Ïî ïðåäëîæåíèþ 12 ðàçëîæåíèå (15) èìååò ìåñòî äëÿ t ∈ [−π, π], à ðàçëîæå-
íèå (16) ñïðàâåäëèâî äëÿ t ∈ (−π, π). Çíà÷èò, ðàâåíñòâî (14) âåðíî äëÿ âñåõ
t ∈ (−π, π).
                                                                                      2
   Îòìåòèì, ÷òî ïðè ëþáîì a > 0 îò ñèñòåì (1) è (13) çàìåíîé ïåðåìåííîé
t = πx/a ìîæíî ïåðåéòè ê ñèñòåìàì
                                                                 πk
        { 1, sin (πk/a)x, cos (πk/a)x | k ∈ N} è { ei a x | k ∈ Z },
îðòîãîíàëüíûì è ïîëíûì â ïðîñòðàíñòâå L2 [−a, a].
  Ïîäðîáíåå î òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ðÿäàõ Ôóðüå ìîæíî ïðî÷èòàòü â ó÷åá-
íèêàõ ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó [7] è [21].

                         Ÿ 9. Ìíîãî÷ëåíû Ëåæàíäðà

  Ñèñòåìà ìíîãî÷ëåíîâ Ëåæàíäðà {Pk (x)} îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëàìè

                                                 1 dk 2
        P0 (x) = 1,    P1 (x) = x,    Pk (x) =     k   k
                                                         (x − 1)k ,         k ≥ 2.          (1)
                                               k! 2 dx
  Ïî ôîðìóëå áèíîìà Íüþòîíà èìååì
                                    k
                           2      k
                                   X    (−1)j k! 2k−2j
                         (x − 1) =                x    .
                                   j=0
                                       j!(k − j)!

Äèôôåðåíöèðóÿ ýòî òîæäåñòâî k ðàç, ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ðàçëîæåíèå ìíî-
ãî÷ëåíà Pk (x) ïî ñòåïåíÿì x:
                                 [k/2]
                               1 X (−1)j (2k − 2j)! k−2j
                      Pk (x) = k                        x ,                                 (2)
                              2 j=0 j!(k − j)!(k − 2j)!

ãäå [k/2]  öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà k/2. Îòñþäà âèäíî, ÷òî ñòàðøèé êîýôôèöèåíò
ìíîãî÷ëåíà Pk (x) åñòü
                          (2k)!     2k(2k − 1) . . . (k + 1)
                                  =                          .
                         (k!)2 2k           k! 2k
  Äàëåå, ñ ïîìîùüþ (2) ëåãêî óñòàíàâëèâàþòñÿ ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ
            (k + 1)Pk+1 (x) = (2k + 1)xPk (x) − kPk−1 (x),             k ≥ 1,
èç êîòîðûõ ñëåäóåò, íàïðèìåð, ÷òî
                                                                      1 · 3 · 5 . . . (2k − 1)
Pk (1) = 1, Pk (−1) = (−1)k , P2k+1 (0) = 0, P2k (0) = (−1)k                                   .
                                                                               (k!)2k
                                          25

Страницы