Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

P
k
(x)
1, x, . . . , x
k−1
P
k
(x)
P
k
(x) L
2
[−1, 1]
kP
k
k
2
=
1
Z
−1
[P
k
(x)]
2
dx =
2
2k + 1
. (6)
˜
P
k
(x) =
r
2k + 1
2
P
k
(x), k ∈ Z
+
. (7)
{
˜
P
k
(x)}
1, x, x
2
, . . . , x
k
, . . . (8)
f [−1, 1]
ε > 0 p
max
x∈[−1,1]
|f(x) − p (x) | < ε.
kf − p k =
1
Z
−1
|f(x) − p (x)|
2
dx
1/2
<
√
2 ε.
C[−1, 1] L
2
[−1, 1]
{P
k
(x)}
L
2
[−1, 1]
f ∈ L
2
[−1, 1]
f(x) =
∞
X
k=0
c
k
P
k
(x),
c
k
=
2k + 1
2
1
Z
−1
f(x)P
k
(x) dx.
Çäåñü ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèìåíÿëèñü: îðòîãîíàëüíîñòü ìíîãî÷ëåíà Pk (x) îä-
íî÷ëåíàì ìåíüøåé ñòåïåíè 1, x, . . . , xk−1 , âûðàæåíèå äëÿ ñòàðøåãî êîýôôè-
öèåíòà ìíîãî÷ëåíà Pk (x), ôîðìóëû (1), ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì è
ðàâåíñòâà (4).
  Èç ñîîòíîøåíèé (3) ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ êâàäðàòà íîðìû
ìíîãî÷ëåíà Pk (x) â ïðîñòðàíñòâå L2 [−1, 1]:
                                    Z1
                                                               2
                      kPk k2 =           [Pk (x)]2 dx =             .                  (6)
                                                             2k + 1
                                  −1

Ñîîòâåòñòâåííî, îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà ìíîãî÷ëåíîâ Ëåæàíäðà îïðå-
äåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
                                 r
                                     2k + 1
                     P̃k (x) =              Pk (x),              k ∈ Z+ .              (7)
                                       2
  Ñèñòåìà {P̃k (x)} ïîëó÷àåòñÿ èç ñèñòåìû
                                 1, x, x2 , . . . , xk , . . .                         (8)
ïðîöåññîì îðòîãîíàëèçàöèè Øìèäòà (ñì. çàìå÷àíèå 1). Ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà
ñèñòåìû (8) åñòü ìíîæåñòâî âñåõ àëãåáðàè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ. Ïî òåîðåìå
Âåéåðøòðàññà, äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f , íåïðåðûâíîé íà îòðåçêå [−1, 1], è ëþ-
áîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîé àëãåáðàè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí p, ÷òî
                           max | f (x) − p (x) | < ε.
                         x∈[−1,1]

Òîãäà, î÷åâèäíî,
                                                                1/2
                               Z1                                           √
               kf − pk =           |f (x) − p (x)|2 dx                <       2 ε.
                             −1

Èçâåñòíî òàêæå, ÷òî ìíîæåñòâî C[−1, 1] ïëîòíî â ïðîñòðàíñòâå L2 [−1, 1].
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñèñòåìà ìíîãî÷ëåíîâ Ëåæàíäðà {Pk (x)} ïîëíà â ïðî-
ñòðàíñòâå L2 [−1, 1].
  Ðàçëîæåíèå ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè f ∈ L2 [−1, 1] â ðÿä Ôóðüå ïî ìíîãî-
÷ëåíàì Ëåæàíäðà èìååò âèä
                                            ∞
                                            X
                             f (x) =              ck Pk (x),
                                            k=0
ãäå
                                            Z1
                             2k + 1
                        ck =                     f (x)Pk (x) dx.
                               2
                                           −1

                                             27

Страницы