Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

1
Z
−1
[f(x)]
2
dx =
∞
X
k=0
|c
k
|
2
kP
k
k
2
,
kP
k
k
2
{Q
k
(x)}
I h(x)
Z
I
Q
k
(x)Q
l
(x)h(x) dx = 0 k, l ∈ Z
+
, k 6= l.
[−1, 1] h(x) ≡ 1
1, x, x
2
, x
3
, . . . ,
I = [−1, 1] h(x) = 1/
√
1 − x
2
{T
k
(x)}
I = [−1, 1] h(x) =
√
1 − x
2
{U
k
(x)}
I = [−1, 1] h(x) = (1 − x)
α
(1 + x)
β
α, β > −1 {P
(α,β)
k
(x)}
I = (−∞, +∞) h(x) = e
−x
2
{H
k
(x)}
I = (0, +∞) h(x) = e
−x
{L
k
(x)}
X ϕ
k
∈ X k ∈ N {ϕ
k
}
X x ∈ X
x =
∞
X
k=1
c
k
ϕ
k
,
x X {ϕ
k
}
X
p 6= 2 L
p
[−π, π ]
Ñîîòâåòñòâóþùåå ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ çàïèñûâàåòñÿ òàê:
                          Z1                  ∞
                                              X
                                    2
                               [f (x)] dx =         | ck |2 kPk k2 ,
                          −1                  k=0

ãäå çíà÷åíèÿ kPk k2 âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå (6).
   Çàìå÷àíèå 4. Ãîâîðÿò, ÷òî ñèñòåìà ìíîãî÷ëåíîâ {Qk (x)} îðòîãîíàëüíà
íà ÷èñëîâîì ïðîìåæóòêå I ñ âåñîì h(x), åñëè
            Z
                 Qk (x)Ql (x)h(x) dx = 0 äëÿ âñåõ k, l ∈ Z+ , k 6= l.
             I

Èç ôîðìóëû (3) âèäíî, ÷òî ñèñòåìà ìíîãî÷ëåíîâ Ëåæàíäðà îðòîãîíàëüíà íà
îòðåçêå [−1, 1] c âåñîì h(x) ≡ 1. Óêàæåì ÷èñëîâûå ïðîìåæóòêè è âåñîâûå
ôóíêöèè, äëÿ êîòîðûõ èç ñèñòåìû ñòåïåíåé 1, x, x2 , x3 , . . . , ìåòîäîì îðòîãî-
íàëèçàöèè Øìèäòà ïîëó÷àþòñÿ äðóãèå êëàññè÷åñêèå ñèñòåìû îðòîãîíàëüíûõ
ìíîãî÷ëåíîâ:
                            √
   1) I = [−1, 1], h(x) = 1/ 1 − x2 (ñèñòåìà {Tk (x)} ìíîãî÷ëåíîâ ×åáûøåâà
I ðîäà);
                           √
   2) I = [−1, 1], h(x) = 1 − x2 (ñèñòåìà {Uk (x)} ìíîãî÷ëåíîâ ×åáûøåâà
II ðîäà);
                                                                        (α,β)
  3) I = [−1, 1], h(x) = (1 − x)α (1 + x)β , α, β > −1 (ñèñòåìà {Pk             (x)}
ìíîãî÷ëåíîâ ßêîáè);
                                     2
  4) I = (−∞, +∞), h(x) = e−x (ñèñòåìà {Hk (x)} ìíîãî÷ëåíîâ Ýðìèòà);
  5) I = (0, +∞), h(x) = e−x (ñèñòåìà {Lk (x)} ìíîãî÷ëåíîâ Ëàãåððà).
Ðÿäû Ôóðüå ïî êëàññè÷åñêèì îðòîãîíàëüíûì ìíîãî÷ëåíàì åñòåñòâåííî âîç-
íèêàþò âî ìíîãèõ çàäà÷àõ ôèçèêè è ÷àñòî ïðèìåíÿþòñÿ â âû÷èñëèòåëüíîé
ìàòåìàòèêå (ñì., íàïðèìåð, [18]).


    Ÿ 10. Î áàçèñàõ â áàíàõîâûõ è ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ

   Ïóñòü X  áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî è ïóñòü ϕk ∈ X äëÿ k ∈ N. Ñèñòåìà {ϕk }
íàçûâàåòñÿ áàçèñîì ïðîñòðàíñòâà X , åñëè êàæäûé ýëåìåíò x ∈ X ïðåäñòàâèì
åäèíñòâåííûì îáðàçîì â âèäå ðÿäà
                                          ∞
                                          X
                                     x=         ck ϕk ,
                                          k=1

ñõîäÿùèìñÿ ê x ïî íîðìå ïðîñòðàíñòâà X . Ñèñòåìà {ϕk } íàçûâàåòñÿ áåç-
óñëîâíûì áàçèñîì ïðîñòðàíñòâà X , åñëè îíà îñòàåòñÿ áàçèñîì ïðè ëþáîé
ïåðåñòàíîâêå åå ýëåìåíòîâ. Íàïðèìåð, òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ñèñòåìà (Ÿ 8) ÿâ-
ëÿåòñÿ áàçèñîì (íî íå áåçóñëîâíûì ïðè p 6= 2) â ïðîñòðàíñòâàõ Lp [−π, π ],

                                           28

Страницы