Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

(x
2
− 1)
d
dx
(x
2
− 1)
k
= 2kx(x
2
− 1)
k
P
k
(x)
(x
2
− 1) · P
00
k
(x) + 2x · P
0
k
(x) − k(k − 1)P
k
(x) = 0.
1
Z
−1
P
k
(x)P
l
(x) dx =
2
2k + 1
δ
k,l
, k, l ∈ Z
+
. (3)
ϕ
k
(x) = (x
2
− 1)
k
ϕ
(l)
k
(−1) = ϕ
(l)
k
(1) = 0, l = 0, 1, . . . , k − 1, (4)
1
Z
−1
ϕ
k
(x) dx = (−1)
k
(k!)
2
(2k)!
·
2
2k+1
2k + 1
. (5)
x = ±1
k ϕ
k
(x)
(x +
1)
k
(x − 1)
k
l < k
1
Z
−1
x
l
P
k
(x) dx = −
l
k! 2
k
1
Z
−1
x
l−1
ϕ
(k−1)
k
(x) dx = . . .
. . . =
(−1)
l
l!
k! 2
k
ϕ
(k−l−1)
k
(1) − ϕ
(k−l−1)
k
(−1)
= 0.
k 6= l
{P
k
(x)} L
2
[−1, 1] k = l
1
Z
−1
[P
k
(x)]
2
dx =
(2k)!
(k!)
2
2
k
1
Z
−1
x
k
P
k
(x) dx =
(2k)!
(k!)
3
2
2k
1
Z
−1
x
k
ϕ
(k)
k
(x) dx =
=
(−1)
k
(2k)!
(k!)
2
2
2k
1
Z
−1
ϕ
k
(x) dx.
     Äèôôåðåíöèðîâàíèåì òîæäåñòâà
                                d 2
                               (x2 − 1)
                                  (x − 1)k = 2kx(x2 − 1)k
                               dx
ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ìíîãî÷ëåí Pk (x) óäîâëåòâîðÿåò äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâ-
íåíèþ                     00
              (x2 − 1) · Pk (x) + 2x · Pk0 (x) − k(k − 1)Pk (x) = 0.
   Äîêàæåì, ÷òî ìíîãî÷ëåíû Ëåæàíäðà îáëàäàþò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì îð-
òîãîíàëüíîñòè:
                        Z1
                                                           2
                             Pk (x)Pl (x) dx =                  δk,l ,    k, l ∈ Z+ .                    (3)
                                                         2k + 1
                        −1

  Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî äëÿ âñïîìîãàòåëüíîé ôóíêöèè ϕk (x) = (x2 − 1)k
âûïîëíåíû ðàâåíñòâà:
                         (l)               (l)
                        ϕk (−1) = ϕk (1) = 0,                  l = 0, 1, . . . , k − 1,                  (4)
è
                               Z1
                                                              (k!)2 22k+1
                                    ϕk (x) dx = (−1)k              ·       .                             (5)
                                                              (2k)! 2k + 1
                               −1
Ðàâåíñòâà (4) ñëåäóþò èç òîãî, ÷òî òî÷êè x = ±1 ÿâëÿþòñÿ íóëÿìè êðàòíîñòè
k ôóíêöèè ϕk (x), à ôîðìóëà (5) äîêàçûâàåòñÿ ìåòîäîì èíòåãðèðîâàíèÿ ïî
÷àñòÿì (âíà÷àëå ñëåäóåò çàïèñàòü ïîäèíòåãðàëüíóþ ôóíêöèþ â âèäå (x +
1)k (x − 1)k ).
   Äëÿ l < k , ïðèìåíÿÿ (1), (4) è èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, èìååì
    Z1                              Z1
                            l                    (k−1)
         xl Pk (x) dx = −                xl−1 ϕk         (x) dx = . . .
                          k! 2k
    −1                              −1
                                  (−1)l l!  (k−l−1)        (k−l−1)
                                                                        
                            ... =           ϕk       (1) − ϕk       (−1) = 0.
                                   k! 2k
Îòñþäà ñëåäóþò ñîîòíîøåíèÿ (3) äëÿ k 6= l , ò.å. äîêàçàíà îðòîãîíàëüíîñòü
ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ Ëåæàíäðà {Pk (x)} â ïðîñòðàíñòâå L2 [−1, 1]. Äëÿ k = l
ñîîòíîøåíèÿ (3) ñëåäóþò èç (5) è òîãî, ÷òî
    Z1                              Z1                                    Z1
                         (2k)!                            (2k)!                   (k)
         [Pk (x)]2 dx =                  xk Pk (x) dx =                        xk ϕk (x) dx =
                        (k!)2 2k                        (k!)3 22k
    −1                              −1                                    −1

                                                                                    k       Z1
                                                                               (−1) (2k)!
                                                                           =                     ϕk (x) dx.
                                                                                (k!)2 22k
                                                                                            −1


                                                         26

Страницы