ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
{e
ikt
| k ∈ Z } (13)
L
2
[−π, π]
π
Z
−π
e
ikt
· e
−ilt
dt = 2πδ
k,l
.
f ∈ L
2
[−π, π]
1
2π
π
Z
−π
|f(t)|
2
dt =
X
k∈Z
|c
k
|
2
f ∈ L
2
[−π, π]
f(t) = e
−it/2
c
k
=
1
2π
π
Z
−π
f(t)e
−i(k+1/2)t
dt =
1
2π
π
Z
−π
cos (k + 1/2)t dt =
=
1
π
π
Z
0
cos (k + 1/2)t dt =
sin (kπ + π/2)
kπ + π/2
=
2(−1)
k
(2k + 1)π
.
t ∈ (−π, π)
e
−it/2
=
2
π
X
k∈Z
(−1)
k
2k + 1
e
ikt
. (14)
cos
t
2
− i sin
t
2
=
2
π
X
k∈Z
(−1)
k
2k + 1
(cos kt + i sin kt).
cos
t
2
=
2
π
X
k∈Z
(−1)
k
2k + 1
cos kt =
2
π
+
4
π
∞
X
k=1
(−1)
k+1
4k
2
− 1
cos kt (15)
sin
t
2
=
2
π
X
k∈Z
(−1)
k+1
2k + 1
sin kt =
8
π
∞
X
k=1
(−1)
k+1
k
4k
2
− 1
sin kt. (16)
Ñèñòåìà ýêñïîíåíò { eikt | k ∈ Z } (13) îðòîãîíàëüíà è ïîëíà â L2 [−π, π]. Ïðè ýòîì Zπ eikt · e−ilt dt = 2πδk,l . −π Îòñþäà âèäíî, ÷òî êîýôôèöèåíòû (10) ÿâëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè Ôóðüå ôóíêöèè f ∈ L2 [−π, π] ïî ñèñòåìå (13). Ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ äëÿ ñèñòåìû (13) çàïèñûâàåòñÿ òàê: Zπ 1 X |f (t)|2 dt = | ck |2 2π −π k∈Z è èìååò ìåñòî äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f ∈ L2 [−π, π]. Ïðèìåð 2. Äëÿ ôóíêöèè f (t) = e−it/2 êîýôôèöèåíòû Ôóðüå (10) âû÷èñ- ëÿþòñÿ òàê: Zπ Zπ 1 1 ck = f (t)e−i(k+1/2)t dt = cos (k + 1/2)t dt = 2π 2π −π −π Zπ 1 sin (kπ + π/2) 2(−1)k = cos (k + 1/2)t dt = = . π kπ + π/2 (2k + 1)π 0 Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ âñåõ t ∈ (−π, π) ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî −it/2 2 X (−1)k ikt e = e . (14) π 2k + 1 k∈Z Ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé Ýéëåðà, çàïèøåì åãî â âèäå t t 2 X (−1)k cos − i sin = (cos kt + i sin kt). 2 2 π 2k + 1 k∈Z Îòäåëÿÿ äåéñòâèòåëüíûå è ìíèìûå ÷àñòè, âèäèì, ÷òî ðàâåíñòâî (14) âåðíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ∞ t 2 X (−1)k 2 4 X (−1)k+1 cos = cos kt = + cos kt (15) 2 π 2k + 1 π π 4k 2 − 1 k∈Z k=1 è ∞ t 2 X (−1)k+1 8 X (−1)k+1 k sin = sin kt = sin kt. (16) 2 π 2k + 1 π 4k 2 − 1 k∈Z k=1 24
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- …
- следующая ›
- последняя »