Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

2π
f f
lim
n→∞
max
t∈[−π,π]
|f(t) − σ
n
(t)| = 0.
f [a, b]
a = x
0
< x
1
< ··· < x
n
= b
f (x
j−1
, x
j
) 1 ≤ j ≤ n
f [a, b]
f
[−π, π] t ∈ [−π, π]
t
S(t) =
(f(t − 0) + f(t + 0))/2, t ∈ (−π, π),
(f(−π) + f(π))/2, t = −π t = π.
S(t) = f(t) f t ∈ (−π, π)
n n
f
f(t) =
π/2, t ∈ (0, π),
0, t ∈ {0, −π, π},
−π/2, t ∈ (−π, 0).
a
0
= a
k
= 0, b
k
=
1
k
(1 − (−1)
k
), k ∈ N.
t ∈ [−π, π]
f(t) = 2
∞
X
k=1
sin(2k − 1)t
2k − 1
. (7)
t = π/4
∞
X
k=1
(−1)
k−1
2k − 1
=
π
4
.
Ôåéåðîì (1904) äîêàçàíî, ÷òî äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîé 2π -ïåðèîäè÷åñêîé
ôóíêöèè f ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ê f ðàâíîìåðíî:
                        lim max |f (t) − σn (t)| = 0.
                       n→∞ t∈[−π,π]


    Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ êóñî÷íî íåïðåðûâíîé íà îòðåçêå [a, b], åñëè ñóùå-
ñòâóåò òàêîé íàáîð òî÷åê a = x0 < x1 < · · · < xn = b ýòîãî îòðåçêà, ÷òî
ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà êàæäîì èíòåðâàëå (xj−1 , xj ), 1 ≤ j ≤ n, è èìå-
åò êîíå÷íûå îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû íà êîíöàõ ýòèõ èíòåðâàëîâ. Ôóíêöèþ
f , èìåþùóþ íà îòðåçêå [a, b] êóñî÷íî íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ, íàçûâà-
þò êóñî÷íî íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé íà ýòîì îòðåçêå.  ó÷åáíèêàõ
ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó äîêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùèé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè
ðÿäà Ôóðüå â òî÷êå.
   Ïðåäëîæåíèå 12. Ïóñòü ôóíêöèÿ f êóñî÷íî íåïðåðûâíî äèôôåðåíöè-
ðóåìà íà îòðåçêå [−π, π] è ïóñòü t ∈ [−π, π] . Òîãäà ðÿä Ôóðüå (33) ñõîäèòñÿ
â òî÷êå t ê çíà÷åíèþ
                      (f (t − 0) + f (t + 0))/2, åñëè t ∈ (−π, π),
                    
             S(t) =
                      (f (−π) + f (π))/2, åñëè t = −π t = π.
 ÷àñòíîñòè, S(t) = f (t), åñëè f íåïðåðûâíà â òî÷êå t ∈ (−π, π).
    òî÷êàõ ðàçðûâà ïðîÿâëÿåòñÿ ÿâëåíèå Ãèááñà: ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì
n ÷àñòè÷íûå ñóììû ðÿäà Ôóðüå (33) â íåêîòîðûõ òî÷êàõ, çàâèñÿùèõ îò n
è ðàñïîëîæåííûõ âáëèçè âûáðàííîé òî÷êè ðàçðàâà, îòëè÷àþòñÿ îò ñîîòâåò-
ñòâóþùåãî îäíîñòîðîííåãî ïðåäåëà ôóíêöèè f ïðèáëèçèòåëüíî íà 18 %.
  Ïðèìåð 1. Äëÿ ôóíêöèè
                        
                         π/2, åñëè t ∈ (0, π),
                f (t) =    0, åñëè t ∈ {0, −π, π},
                         −π/2, åñëè t ∈ (−π, 0).

êîýôôèöèåíòû Ôóðüå (32) èìåþò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ
                                      1
                 a0 = ak = 0,     bk = (1 − (−1)k ), k ∈ N.
                                      k
Ïî ïðåäëîæåíèþ 12 äëÿ âñåõ t ∈ [−π, π] ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
                                      ∞
                                      X sin(2k − 1)t
                         f (t) = 2                        .              (7)
                                               2k − 1
                                      k=1

 ÷àñòíîñòè, ïðè t = π/4 îòñþäà èìååì
                             ∞
                             X (−1)k−1              π
                                                =     .
                                      2k − 1        4
                                k=1

                                        22

Страницы