Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

1 < p < ∞
L
p
(R) 1 < p < ∞ 1, t, t
2
, . . .
C[−1, 1 ] |t|
[−1, 1 ]
C[a, b ] L
1
[a, b ]
U : X → X
{ϕ
k
} {Uϕ
k
} {ϕ
k
}
{Uϕ
k
}
X
∗
X {ϕ
k
}
X
f
j
∈ X
∗
j ∈ N
f
j
(ϕ
k
) = δ
j,k
{ϕ
k
} {f
j
}
M > 0
sup
n∈N
n
X
k=1
f
k
(x)ϕ
k
≤ M||x ||
x ∈ X {ϕ
k
}
∞
X
k=1
f
k
(x)f(ϕ
k
)
x ∈ X f ∈ X
∗
{ϕ
k
}
X {f
j
}
X
∗
X
∗
{ϕ
k
}
H
{ϕ
k
} H
{ϕ
k
} H
x ∈ H
∞
X
k=1
|c
k
(x)|
2
||ϕ
k
||
2
= ||x||
2
;
x, y ∈ H
(x, y) =
∞
X
k=1
c
k
(x)c
k
(y)||ϕ
k
||
2
.
{ϕ
k
}
H
{1, sin kt, cos kt | k ∈
1 < p < ∞. Ñèñòåìà ôóíêöèé Õààðà (ñ. 47) ÿâëÿåòñÿ áåçóñëîâíûì áàçèñîì
âî âñåõ ïðîñòðàíñòâàõ Lp (R), 1 < p < ∞. Cèñòåìà ñòåïåíåé 1, t, t2 , . . . íå
ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì â ïðîñòðàíñòâå C[−1, 1 ] (ôóíêöèþ | t| íåëüçÿ ðàçëîæèòü â
ñòåïåííîé ðÿä, ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèéñÿ íà îòðåçêå [−1, 1 ]). Â ïðîñòðàíñòâàõ
C[a, b ] è L1 [a, b ] íå ñóùåñòâóåò áåçóñëîâíûõ áàçèñîâ.
   Ïóñòü U : X → X  ëèíåéíûé îãðàíè÷åííûé îáðàòèìûé îïåðàòîð. Åñ-
ëè ñèñòåìà {ϕk }  áàçèñ, òî è ñèñòåìà {U ϕk }  áàçèñ. Åñëè ñèñòåìà {ϕk } 
áåçóñëîâíûé áàçèñ, òî è ñèñòåìà {U ϕk }  áåçóñëîâíûé áàçèñ.
   Îáîçíà÷èì ÷åðåç X ∗ ïðîñòðàíñòâî, ñîïðÿæåííîå ê X . Åñëè ñèñòåìà {ϕk }
ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì ïðîñòðàíñòâà X , òî cóùåñòâóþò ëèíåéíûå îãðàíè÷åííûå
ôóíêöèîíàëû fj ∈ X ∗ , j ∈ N, òàêèå, ÷òî âûïîëíåíî óñëîâèå áèîðòîãîíàëü-
íîñòè: fj (ϕk ) = δj,k . Äëÿ äàííîãî áàçèñà {ϕk } áèîðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà {fj }
îïðåäåëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì. Ïðè ýòîì ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà M > 0
òàêàÿ, ÷òî
                                  Xn
                             sup      fk (x)ϕk ≤ M || x ||
                         n∈N
                                 k=1
äëÿ âñåõ x ∈ X . Áàçèñ {ϕk } ÿâëÿåòñÿ áåçóñëîâíûì òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà ðÿä
                                   ∞
                                   X
                                         fk (x)f (ϕk )
                                   k=1
àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ äëÿ ëþáûõ x ∈ X è f ∈ X ∗ . Åñëè ñèñòåìà {ϕk }  áåç-
óñëîâíûé áàçèñ â X , òî áèîðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà {fj } ïðè óñëîâèè ñåïàðà-
áåëüíîñòè ïðîñòðàíñòâà X ∗ áóäåò áåçóñëîâíûì áàçèñîì â X ∗ .
   Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà {ϕk }  îðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà â ãèëü-
áåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H . Èç ïðåäëîæåíèé 2, 5 è 6 ñëåäóåò ýêâèâàëåíòíîñòü
ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèé:
   1) {ϕk }  áàçèñ ïðîñòðàíñòâà H ;
   2) ñèñòåìà {ϕk } ïîëíà â H ;
   3) äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà x ∈ H âûïîëíåíî ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ
                          ∞
                          X
                                | ck (x)|2 || ϕk ||2 = || x||2 ;
                          k=1

  4) ëþáûå ýëåìåíòû x, y ∈ H óäîâëåòâîðÿþò îáîáùåííîìó óðàâíåíèþ çà-
ìêíóòîñòè
                                    ∞
                                    X
                        (x, y) =           ck (x)ck (y)|| ϕk ||2 .
                                     k=1

   Ïîëíàÿ îðòîãîíàëüíàÿ (ñîîòâ. îðòîíîðìèðîâàííàÿ) ñèñòåìà {ϕk } ãèëüáåð-
òîâà ïðîñòðàíñòâà H íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíûì (ñîîòâ. îðòîíîðìèðîâàí-
íûì ) áàçèñîì ýòîãî ïðîñòðàíñòâà. Íàïðèìåð, ñèñòåìû {1, sin kt, cos kt | k ∈

                                            29

Страницы