Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

N} {e
ikt
| k ∈ Z } L
2
[−π, π]
L
2
[−1, 1]
{g
k
} H
{ϕ
k
}
{α
j
} |α
1
| > 0
n ∈ N
n
X
j=1
|α
j
|
2
≤ M · α
2
n+1
,
M n
k ∈ N
g
k
=
k
X
j=1
α
j
ϕ
j
.
{g
k
} H
m M
m
∞
X
k=1
|a
k
|
2
!
1/2
≤
∞
X
k=1
a
k
g
k
≤ M
∞
X
k=1
|a
k
|
2
!
1/2
{a
k
} l
2
{g
k
}
H
H
H
H {Ue
k
} U
{e
k
}
N} è { eikt | k ∈ Z } ÿâëÿþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè áàçèñàìè â L2 [−π, π]. Ìíîãî-
÷ëåíû Ëåæàíäðà îáðàçóþò îðòîãîíàëüíûé áàçèñ ïðîñòðàíñòâà L2 [−1, 1].
  Íåîðòîãîíàëüíûé áàçèñ {gk } ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà H ìîæåò áûòü ïî-
ëó÷åí èç îðòîãîíàëüíîãî áàçèñà {ϕk } ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùåãî àëãîðèòìà.
  Øàã 1. Âûáðàòü ÷èñëîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {αj } òàêóþ, ÷òî | α1 | > 0 è
äëÿ âñåõ n ∈ N ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
                                   n
                                   X
                                         | αj |2 ≤ M · αn+1
                                                        2
                                                            ,
                                   j=1

ãäå êîíñòàíòà M íå çàâèñèò îò n.
   Øàã 2. Äëÿ êàæäîãî k ∈ N ïîëîæèòü
                                                k
                                                X
                                         gk =          αj ϕj .
                                                j=1


  Ñèñòåìà {gk } ýëåìåíòîâ ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà H íàçûâàåòñÿ ñèñòå-
ìîé Ðèññà, åñëè ñóùåñòâóþò ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà m è M òàêèå, ÷òî
                ∞
                                 !1/2       ∞                    ∞
                                                                                 !1/2
                X                           X                    X
            m          | ak |2          ≤         ak gk ≤ M            | ak |2
                 k=1                        k=1                  k=1

äëÿ ïðîèçâîëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {ak } èç l2 . Åñëè ñèñòåìà Ðèññà {gk }
ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì â H , òî îíà íàçûâàåòñÿ áàçèñîì Ðèññà.
   Â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H ëþáîé îðòîãîíàëüíûé áàçèñ ÿâëÿåòñÿ áåç-
óñëîâíûì. Êðîìå òîãî, âñÿêàÿ ñèñòåìà Ðèññà, ïîëíàÿ â H , ÿâëÿåòñÿ áåçóñëîâ-
íûì áàçèñîì. Èçâåñòíî òàêæå, ÷òî ëþáîé áåçóñëîâíûé áàçèñ ïðîñòðàíñòâà
H ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå {U ek }, ãäå U  ëèíåéíûé îãðàíè÷åííûé
îáðàòèìûé îïåðàòîð, à {ek }  îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ.
  Ïîäðîáíåå î áèîðòîãîíàëüíûõ ñèñòåìàõ, à òàêæå î áàçèñàõ è ñèñòåìàõ
Ðèññà, ìîæíî ïðî÷èòàòü â ìîíîãðàôèè [8] (ñì. òàêæå [22], [23]).




                                                  30

Страницы