Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

[F(T
h
f)](ξ) = e
−iξh
b
f(ξ)
[F(e
ω
f)](ξ) =
b
f(ξ − ω)
[F(D
a
f)](ξ) = |a|D
1/a
b
f(ξ)
[F(f ∗ g)](ξ) =
b
f(ξ)bg(ξ)
(Ff
(n)
)(ξ) = (iξ)
n
(Ff)(ξ)
(Ff )
(n)
(ξ) = F[(−it)
n
f(t)]
b
f = Ff
f
f R
n L
1
(R)
(Ff
(n)
)(ξ) → 0 |ξ| → +∞
lim
|ξ|→+∞
|ξ|
n
b
f(ξ) = 0,
b
f(ξ)
1/|ξ|
n
(Ff )
(n)
f(t), tf(t), . . . , t
n
f(t) L
1
(R)
L
1
(R) f
b
f f
a > 0 e
a|t|
f(t) L
1
(R)
b
f {ζ ∈ C : |Im ζ| < a }
f L
1
(R)
b > 0 f(t) = 0 |t| > b
b
f
b
f(ζ) =
b
Z
−b
f(t)e
−itζ
dt, (3)
ζ = ξ + iη
b
f(ζ)
ζ ∈ C
|e
−itζ
| = |e
−it(ξ+iη)
| ≤ e
b|η|
, −b ≤ t ≤ b.
  Ïðè âû÷èñëåíèè ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ÷àñòî ïðèìåíÿþò ñëåäóþùèå ïðà-
âèëà:
      (Ï1) [F(Th f )](ξ) = e−iξh fb(ξ),
        (Ï2) [F(eω f )](ξ) = fb(ξ − ω),
        (Ï3) [F(Da f )](ξ) = |a|D1/a fb(ξ),
        (Ï4) [F(f ∗ g)](ξ) = fb(ξ)b g (ξ),
        (Ï5) (Ff (n) )(ξ) = (iξ)n (Ff )(ξ),
        (Ï6) (Ff )(n) (ξ) = F[(−it)n f (t)].
   Ïîäðîáíîå îáîñíîâàíèå ïðàâèë (Ï1)  (Ï6) èçëîæåíî â ó÷åáíèêàõ [7] è [10].
Èç ïðàâèëà (Ï3) (åãî íàçûâàþò ïðàâèëîì èçìåíåíèÿ ìàñøòàáà) âèäíî, ÷òî
ãðàôèê ôóíêöèè fb = Ff ðàñòÿãèâàåòñÿ â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè è ñòà-
íîâèòñÿ áîëåå ïëîñêèì, êîãäà ãðàôèê ôóíêöèè f ñæèìàåòñÿ ãîðèçîíòàëüíî.
   Ïðàâèëî (Ï5) ïðèìåíèìî, åñëè ôóíêöèÿ f èìååò íà R íåïðåðûâíóþ ïðî-
èçâîäíóþ n-ãî ïîðÿäêà, ïðèíàäëåæàùóþ êëàññó L1 (R).  ýòîì ñëó÷àå ïî
òåîðåìå Ðèìàíà  Ëåáåãà (Ff (n) )(ξ) → 0 ïðè | ξ| → +∞ è èç (Ï5) ïîëó÷àåì

                                   lim | ξ|n fb(ξ) = 0,
                                 | ξ|→+∞


ò.å. ïðè óêàçàííûõ óñëîâèÿõ ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå fb(ξ) óáûâàåò íà áåñ-
êîíå÷íîñòè áûñòðåå, ÷åì 1/| ξ|n . Äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ïðîèçâîäíîé (Ff )(n)
è ñïðàâåäëèâîñòè ïðàâèëà (Ï6) äîñòàòî÷íî ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ôóíêöèè
f (t), tf (t), . . . , tn f (t) ïðèíàäëåæàò êëàññó L1 (R). Òàêèì îáðàçîì, ÷åì áîëüøå
ïðîèçâîäíûõ â L1 (R) èìååò ôóíêöèÿ f , òåì áûñòðåå óáûâàåò íà áåñêîíå÷-
íîñòè ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå fb è, îáðàòíî, ÷åì áûñòðåå óáûâàåò ôóíêöèÿ f ,
òåì áîëåå ãëàäêîé ÿâëÿåòñÿ åå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå. Èçâåñòíî òàêæå, ÷òî
åñëè ïðè íåêîòîðîì a > 0 ôóíêöèÿ ea|t| f (t) ïðèíàäëåæèò L1 (R), òî ïðåîáðà-
çîâàíèå Ôóðüå fb àíàëèòè÷åñêè ïðîäîëæàåòñÿ â ïîëîñó {ζ ∈ C : |Im ζ| < a }.
  Åñëè ôóíêöèÿ f èç L1 (R) èìååò êîìïàêòíûé íîñèòåëü, ò.å. ñóùåñòâóåò
÷èñëî b > 0 òàêîå, ÷òî f (t) = 0 äëÿ | t| > b, òî ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå fb
àíàëèòè÷åñêè ïðîäîëæàåòñÿ íà âñþ êîìïëåêñíóþ ïëîñêîñòü ïî ôîðìóëå
                                           Zb
                                fb(ζ) =         f (t)e−itζ dt,                  (3)
                                          −b

ãäå ζ = ξ + iη  êîìïëåêñíàÿ ïåðåìåííàÿ. Èç ôîðìóëû (3) âûâîäèòñÿ, ÷òî
ôóíêöèÿ fb(ζ) ÿâëÿåòñÿ öåëîé ôóíêöèåé. Ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà â (3) äëÿ
ëþáîãî ζ ∈ C ñëåäóåò èç îöåíêè

                   | e−itζ | = | e−it(ξ+iη) | ≤ eb|η| ,     −b ≤ t ≤ b.

                                                32

Страницы