Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

|
b
f(ζ)| ≤ e
b|η|
b
Z
−b
|f(t)|dt = e
b|η|
kfk
L
1
(R)
,
f
b
f
f f ∈ L
1
(R)
b
f(ξ) = 0
|ξ| > a
f(t) =
1
2π
a
Z
−a
b
f(ξ)e
itξ
dξ, t ∈ R. (4)
f
C
b
f
[−a, a] L
2
[−a, a]
b
f(ξ) =
X
k∈Z
c
k
(
b
f)e
iπξk/a
, (5)
c
k
(
b
f) =
1
2a
a
Z
−a
b
f(ξ)e
−iπξk/a
dξ. (6)
ξ ∈ [−a, a]
c
k
(
b
f) = (π/a)f(−πk/a). (7)
f(t) = O(1/|t|
1+ε
) (|t| → +∞) (8)
f(t) =
X
k∈Z
f(kT )
sin(a(t − kT ))
a(t − kT )
, (9)
T = π/a
f(t) =
1
2π
a
Z
−a
X
k
c
k
(
b
f)e
iξ(t+kT )
!
dξ =
1
2a
X
k
f(−kT )
a
Z
−a
e
iξ(t+kT )
dξ
Îòñþäà è èç (3) ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî
                                          Zb
                        |fb(ζ)| ≤ eb|η|           |f (t)| dt = eb|η| kf kL1 (R) ,
                                          −b

ò.å. äëèíà íîñèòåëÿ ôóíêöèè f îãðàíè÷èâàåò ñêîðîñòü ðîñòà öåëîé ôóíêöèè
fb â âåðòèêàëüíîì íàïðàâëåíèè.
  Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà êîìïàêòíûé íîñèòåëü èìååò íå ñàìà
ôóíêöèÿ f , à åå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå. Èòàê, ïóñòü f ∈ L1 (R) è fb(ξ) = 0
äëÿ âñåõ | ξ| > a. Òîãäà
                                             Za
                                         1
                              f (t) =              fb(ξ)eitξ dξ,       t ∈ R.                            (4)
                                        2π
                                             −a

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ f ïðîäîëæàåòñÿ íà âñþ êîìïëåêñíóþ ïëîñêîñòü
C êàê öåëàÿ ôóíêöèÿ. Ïî òåîðåìå Ðèìàíà  Ëåáåãà ôóíêöèÿ fb íåïðåðûâíà íà
[−a, a] è òåì áîëåå ïðèíàäëåæèò êëàññó L2 [−a, a]. Ðàçëîæèì åå â ðÿä Ôóðüå:
                                                  X
                                   fb(ξ) =              ck (fb)eiπξk/a ,                                 (5)
                                                  k∈Z

ãäå
                                                   Za
                                           1
                                ck (fb) =               fb(ξ)e−iπξk/a dξ.                                (6)
                                          2a
                                                  −a

Ïî òåîðåìå Êàðëåñîíà ðàâåíñòâî (5) èìååò ìåñòî äëÿ ïî÷òè âñåõ ξ ∈ [−a, a].
Ñðàâíèâàÿ (4) è (6), çàìå÷àåì, ÷òî

                                   ck (fb) = (π/a)f (−πk/a).                                             (7)

  Èç ðàâåíñòâ (4), (5) è (7) ïðè óñëîâèè
                              f (t) = O(1/|t|1+ε ) (|t| → +∞)                                            (8)
ñëåäóåò ôîðìóëà Êîòåëüíèêîâà  Øåííîíà:
                                        X                    sin(a(t − kT ))
                              f (t) =         f (kT )                        ,                           (9)
                                                                a(t − kT )
                                        k∈Z

ãäå T = π/a. Äåéñòâèòåëüíî, èìååì
                   Za                               !                               Za
               1        X                                      1 X
      f (t) =                  ck (fb)eiξ(t+kT )         dξ =      f (−kT )              eiξ(t+kT ) dξ
              2π                                              2a
                   −a     k                                            k            −a

                                                        33

Страницы