Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

f f R
b
f
[−a, a]
F S(R)
S(R)
R f(t) |t| → +∞
|t| f ∈ S(R)
f ∈ C
∞
(R) sup
t∈R
|t
β
f
(α)
(t)| < +∞ α, β ∈ Z
+
.
{ϕ
k
} S(R)
α, β
{t
β
ϕ
(α)
k
(t)} R ϕ
k
→ ϕ S(R)
{ϕ
k
−ϕ}
f S(R)
F S(R)
F : S(R) → S(R)
ϕ
k
→ ϕ bϕ
k
→ bϕ S(R)
L
2
(R)
(f, g) =
Z
R
f(t)g(t) dt, ||f|| =
p
(f, f).
L
2
(R) L
1
(R) 1/
√
1 + t
2
f ∈ L
1
(R) ∩L
2
(R)
b
f
L
2
(R)
F : L
1
(R) ∩ L
2
(R) → L
2
(R)
kFk =
√
2π
L
1
(R) ∩ L
2
(R) L
2
(R) F
L
2
(R)
F L
2
(R)
f, g ∈ L
2
(R)
(f, g) =
1
2π
(
b
f, bg). (11)
f = g
k
b
fk =
√
2πkfk f ∈ L
2
(R). (12)
   Ðÿä â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (10) íàçûâàåòñÿ êàðäèíàëüíûì ðÿäîì ôóíê-
öèè f . Îí ñõîäèòñÿ äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f , íåïðåðûâíîé íà R è óäîâëåòâîðÿþ-
ùåé óñëîâèþ (8). Îäíàêî, åñëè íîñèòåëü ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå fb âûõîäèò çà
ïðåäåëû îòðåçêà [−a, a], òî èìååò ìåñòî òàê íàçûâàåìûé ýôôåêò íàëîæåíèÿ
(ñì., óïðàæíåíèå 6 è [1, Ÿ 2.4]).
     Îïåðàòîð Ôóðüå F ìîæíî ðàññìàòðèâàòü íà ïðîñòðàíñòâå Øâàðöà S(R).
Íàïîìíèì, ÷òî ïðîñòðàíñòâî S(R) ñîñòîèò èç áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóå-
ìûõ íà R ôóíêöèé f (t), óáûâàþùèõ íà áåñêîíå÷íîñòè (ò.å. ïðè | t| → +∞ )
âìåñòå ñî âñåìè ñâîèìè ïðîèçâîäíûìè áûñòðåå ëþáîé îòðèöàòåëüíîé ñòåïåíè
| t|. Èíûìè ñëîâàìè, f ∈ S(R) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
       f ∈ C ∞ (R) è     sup | tβ f (α) (t)| < +∞ äëÿ âñåõ α, β ∈ Z+ .
                           t∈R

Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { ϕk } ôóíêöèé èç S(R) ñ÷èòàåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ ê íó-
ëþ, åñëè äëÿ ëþáûõ íåîòðèöàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë α, β ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
      (α)
{ tβ ϕk (t)} ñõîäèòñÿ ê íóëþ ðàâíîìåðíî íà R. Ñîîòíîøåíèå ϕk → ϕ â S(R)
îçíà÷àåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { ϕk − ϕ} ñõîäèòñÿ ê íóëþ. Ïðåîáðàçîâàíèå
Ôóðüå ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè f èç S(R) îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (1). Îïå-
ðàòîð Ôóðüå F îòîáðàæàåò ïðîñòðàíñòâî Øâàðöà S(R) íà ñåáÿ ãîìåîìîðôíî
(ò.å. îòîáðàæåíèå F : S(R) → S(R) áèåêòèâíî è ïðåäåëüíûå ñîîòíîøåíèÿ
ϕk → ϕ è ϕ       b â S(R) ðàâíîñèëüíû).
            bk → ϕ
   Íàïîìíèì, ÷òî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è íîðìà â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàí-
ñòâå L2 (R) îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì
                             Z                                 p
                  (f, g) =         f (t)g(t) dt,    ||f || =    (f, f ).
                               R
                                                                           √
Íå âñÿêàÿ ôóíêöèÿ èç L2 (R) ñîäåðæèòñÿ â L1 (R) (ïðèìåð: 1/ 1 + t2 ).
   Äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f ∈ L1 (R) ∩ L2 (R) ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå fb, îïðåäå-
ëåííîå ïî ôîðìóëå (1), ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó L2 (R). Îïåðàòîð Ôóðüå
                       F : L1 (R) ∩ L2 (R) → L2 (R)
                                                                           √
ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì îãðàíè÷åííûì îïåðàòîðîì, ïðè÷åì kFk = 2π . Ïîñêîëü-
êó ìíîæåñòâî L1 (R) ∩ L2 (R) ïëîòíî â L2 (R), îïåðàòîð F ìîæåò áûòü åäèí-
ñòâåííûì îáðàçîì ïðîäîëæåí íà âñå L2 (R) ñ ñîõðàíåíèåì íîðìû. Òàê îïðåäå-
ëåííûé îïåðàòîð F îòîáðàæàåò ïðîñòðàíñòâî L2 (R) íà ñåáÿ ëèíåéíî, íåïðå-
ðûâíî è âçàèìíî îäíîçíà÷íî. Ïðè ýòîì äëÿ ëþáûõ f, g ∈ L2 (R) ñïðàâåäëèâî
ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ  Ïëàíøåðåëÿ:
                                               1 b
                                   (f, g) =      (f , gb).                     (11)
                                              2π
 ÷àñòíîñòè, ïðè f = g èìååì
                           √
                  kfbk =       2πkf k äëÿ âñåõ f ∈ L2 (R).                     (12)

                                            35

Страницы