Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

f ∈ L
2
(R)
p(t) = |f(t)|
2
/kfk
2
, q(ξ) = |
b
f(ξ)|
2
/k
b
fk
2
(13)
m(f) =
Z
R
tp(t) dt, m(
b
f) =
Z
R
ξq(ξ) dξ,
D(f) =
Z
R
(t − m(f))
2
p(t) dt, D(
b
f) =
Z
R
(ξ −m(
b
f))
2
q(ξ) dξ.
D(f)D(
b
f) ≥
1
4
. (14)
f ∈ L
2
(R)
f(t) = c e
iat
e
−(t−b)
2
/4α
, a, b ∈ R, c 6= 0, α > 0.
f ∈ L
2
(R)
Z
R
t
2
|f(t)|
2
dt
1/2
Z
R
ξ
2
|
b
f(ξ)|
2
dξ
1/2
≥
1
2
kfkk
b
fk. (15)
S(R) L
2
(R)
f ∈ S(R)
Z
R
t
2
|f(t)|
2
dt
1/2
Z
R
|f
0
(t)|
2
dt
1/2
≥
1
2
kfk
2
. (16)
I :=
Z
R
(tf(t))(f
0
(t)) dt.
|I| |I| ≥ |Re I| Re I kfk
2 Re I = I +
¯
I =
Z
R
t(f(t)f
0
(t) + f
0
(t)f(t)) dt = −
Z
R
|f(t)|
2
dt = −kfk
2
.
    êâàíòîâîé ìåõàíèêå äâèæåíèå îäíîìåðíîé ÷àñòèöû îïèñûâàåòñÿ âîëíî-
âîé ôóíêöèåé f ∈ L2 (R). Íåîòðèöàòåëüíûå ôóíêöèè

                      p(t) = |f (t)|2 /kf k2 ,                q(ξ) = |fb(ξ)|2 /kfbk2                      (13)
ÿâëÿþòñÿ ïëîòíîñòÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, îïè-
ñûâàþùèõ ïîëîæåíèå è èìïóëüñ ÷àñòèöû. Ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ è äèñ-
ïåðñèè ýòèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè
                                 Z                                    Z
                      m(f ) =         tp(t) dt,           m(fb) =             ξq(ξ) dξ,
                                  R                                       R
                  Z                                                   Z
                                      2
        D(f ) =        (t − m(f )) p(t) dt,               D(fb) =             (ξ − m(fb))2 q(ξ) dξ.
                  R                                                     R

  Ïðèíöèï íåîïðåäåëåííîñòè Ãåéçåíáåðãà óòâåðæäàåò, ÷òî íåëüçÿ îäíîâðå-
ìåííî èçìåðèòü òî÷íî è êîîðäèíàòó êâàíòîâîé ÷àñòèöû, è åå èìïóëüñ. Â
ìàòåìàòè÷åñêîé ôîðìå ýòîò ïðèíöèï âûðàæàåòñÿ íåðàâåíñòâîì
                                                      1
                                          D(f )D(fb) ≥ .                                                  (14)
                                                      4
   Íåðàâåíñòâî (14) âåðíî äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f ∈ L2 (R). Ðàâåíñòâî äîñòè-
ãàåòñÿ òîëüêî äëÿ ôóíêöèé âèäà
                                           2
               f (t) = c eiat e−(t−b)          /4α
                                                     ,    a, b ∈ R, c 6= 0, α > 0.

  Ëåììà.Äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f ∈ L2 (R) ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
         Z                1/2 Z                  1/2
                                                          1
             t2 |f (t)|2 dt         ξ 2 |fb(ξ)|2 dξ      ≥ kf kkfbk.                                      (15)
           R                      R                       2

   Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ïëîòíîñòè ìíîæåñòâà S(R) â L2 (R) ñëåäóåò, ÷òî
äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé f ∈ S(R). Òîãäà, ïðèìåíÿÿ ðàâåíñòâî Ïàðñå-
âàëÿ è ïðàâèëî (Ï5), çàïèøåì (15) â âèäå
               Z                     1/2 Z               1/2
                                                                  1
                        t2 |f (t)|2 dt         |f 0 (t)|2 dt     ≥ kf k2 .                                (16)
                      R                      R                    2
Ïîëîæèì                                   Z
                                  I :=          (tf (t))(f 0 (t)) dt.
                                           R
Ñîãëàñíî íåðàâåíñòâó Êîøè  Áóíÿêîâñêîãî, ëåâàÿ ÷àñòü â (16) íå ìåíüøå,
÷åì | I|. Äàëåå ïðèìåíèì íåðàâåíñòâî | I| ≥ | Re I| è âûðàçèì Re I ÷åðåç kf k:
                        Z                                                       Z
   2 Re I = I + I¯ =         t(f (t)f 0 (t) + f 0 (t)f (t)) dt = −                    |f (t)|2 dt = −kf k2 .
                         R                                                        R

                                                         36

Страницы