Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

f ∈ L
2
(R) m(f) = m(
b
f) = 0
f ∈ L
2
(R)
m(f) m(
b
f)
h(t) = e
−iξ
0
t
f(t + t
0
), t
0
= m(f), ξ
0
= m(
b
f).
Z
R
t
2
|h(t)|
2
dt
1/2
Z
R
ξ
2
|
b
h(ξ)|
2
dξ
1/2
≥
1
2
khkk
b
hk. (17)
b
h(ξ) = e
ix
0
(ξ+ξ
0
)
b
f(ξ + ξ
0
).
khk = kfk, k
b
hk = k
b
fk
Z
R
t
2
|h(t)|
2
dt =
Z
R
(t − t
0
)
2
|f(t)|
2
dt,
Z
R
ξ
2
|
b
h(ξ)|
2
dξ =
Z
R
(ξ −ξ
0
)
2
|
b
f(ξ)|
2
dξ.
f ∈ L
2
(R)
+∞
f = χ
[−a,a]
f
[−a, a]
b
f(ξ) = 2 sin(aξ)/ξ
ϕ = χ
[0,1)
ψ = χ
[0,1/2)
−χ
[1/2,1)
ϕ
X
k∈Z
|bϕ(ξ + 2πk)|
2
≡ 1
1
2
ctg
ξ
2
=
X
k∈Z
1
ξ + 2πk
.
f(t) = e
−at
2
a > 0
b
f(ξ) =
p
π/a e
−ξ
2
/4a
g
α
(t) =
1
2
√
πα
e
−t
2
/4α
, α > 0. (18)
Òàêèì îáðàçîì, ëåììà äîêàçàíà.
    Èç ôîðìóë (13) âèäíî, ÷òî íåðàâåíñòâî (14) ïðè óñëîâèÿõ

                              f ∈ L2 (R) è m(f ) = m(fb) = 0
ðàâíîñèëüíî (15). Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî äëÿ äàííîé ôóíêöèè f ∈ L2 (R)
âåëè÷èíû m(f ) è m(fb) êîíå÷íû è îòëè÷íû îò íóëÿ. Ââåäåì âñïîìîãàòåëüíóþ
ôóíêöèþ
                     h(t) = e−iξ0 t f (t + t0 ),      t0 = m(f ), ξ0 = m(fb).
Äëÿ ýòîé ôóíêöèè ïî ëåììå èìååì
                Z                1/2 Z                 1/2
                                                                1
                     t2 |h(t)|2 dt         ξ 2 |b
                                                h(ξ)|2 dξ      ≥ khkkb
                                                                     hk.                                  (17)
                   R                     R                      2
Ïðèìåíÿÿ (Ï1) è (Ï2), ïîëó÷àåì

                                     h(ξ) = eix0 (ξ+ξ0 ) fb(ξ + ξ0 ).
                                     b

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî khk = kf k, kb
                               hk = kfbk è
Z                      Z                              Z                          Z
     t2 |h(t)|2 dt =       (t − t0 )2 |f (t)|2 dt,            ξ 2 |b
                                                                   h(ξ)|2 dξ =       (ξ − ξ0 )2 |fb(ξ)|2 dξ.
 R                     R                                  R                      R

Îòñþäà è èç (17) ñëåäóåò íåðàâåíñòâî (14) äëÿ ëþáîé f ∈ L2 (R).
  Îòìåòèì, ÷òî ëåâûå ÷àñòè íåðàâåíñòâ (14) è (15) ìîãóò áûòü ðàâíûìè +∞.

Óïðàæíåíèÿ
   1. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè f = χ[−a,a] (ò.å. f  õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ
îòðåçêà [−a, a]), òî fb(ξ) = 2 sin(aξ)/ξ .
  2. Íàéäèòå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ôóíêöèé ϕ = χ[0,1) è ψ = χ[0,1/2) −χ[1/2,1) .
Óáåäèòåñü, ÷òî äëÿ äàííîé ôóíêöèè ϕ óñëîâèå
                                       X
                                              b + 2πk)|2 ≡ 1
                                             |ϕ(ξ
                                       k∈Z
ñëåäóåò èç ðàçëîæåíèÿ
                                      1    ξ X    1
                                        ctg =          .
                                      2    2   ξ + 2πk
                                                     k∈Z

                               2                                                           2
  3. Ïóñòü f (t) = e−at , a > 0 . Äîêàæèòå, ÷òî fb(ξ) =                                              è íàéäèòå
                                                                             p
                                                                                 π/a e−ξ       /4a

ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ãàóññîâûõ ôóíêöèé
                                             1   2
                                   gα (t) = √ e−t /4α ,             α > 0.                                (18)
                                           2 πα
                                                     37

Страницы