Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

g ∈ L
2
(R)
kgk
2
=
Z
R
|g(t)|
2
dt > 0,
Z
R
|tg(t)|
2
dt < +∞,
m(g) ∆(g)
m(g) = kgk
−2
Z
R
t |g(t)|
2
dt ,
∆(g) =
p
D(g) = kgk
−1
Z
R
(t − m(g))
2
|g(t)|
2
dt
1/2
.
g
R[g] = [m(g) − ∆(g), m(g) + ∆(g)] × [m(bg) − ∆(bg), m(bg) + ∆(bg)].
4∆(g)∆(bg)
4∆(g)∆(bg) ≥ 2. (1)
g
g
α
(t) =
1
2
√
πα
e
−t
2
/4α
, α > 0,
R[g
α
] = [−
√
α,
√
α] × [−(2
√
α)
−1
, (2
√
α)
−1
].
R[g
α
]
α > 0 b, ξ ∈ R
G
α
b, ξ
(t) = e
iξt
g
α
(t − b), t ∈ R.
g
α
(t − b) =
1
2
√
πα
e
−(t−b)
2
/4α
t = b
|t| → ∞
Z
R
g
α
(t − b) db =
Z
R
g
α
(x) dx = 1.
              Ÿ 2. Ïðåîáðàçîâàíèå Ãàáîðà è íåïðåðûâíîå
                       âåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèå

  Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè g ∈ L2 (R), óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèÿì
                       Z                             Z
                   2                 2
               kgk =           | g(t)| dt > 0,             | tg(t)|2 dt < +∞,
                           R                           R

öåíòð m(g) è ðàäèóñ ∆(g) îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè
                        Z
                     −2
          m(g) = kgk       t | g(t)|2 dt ,
                         R
                                     Z                       1/2
                  p              −1                2       2
          ∆(g) = D(g) = kgk              (t − m(g)) | g(t)| dt     .
                                               R

×àñòîòíî-âðåìåííûì ïðÿìîóãîëüíèêîì ôóíêöèè g íàçûâàþò ìíîæåñòâî
      R[g] = [m(g) − ∆(g), m(g) + ∆(g)] × [m(b
                                             g ) − ∆(b
                                                     g ), m(b
                                                            g ) + ∆(b
                                                                    g )].
Ïëîùàäü ýòîãî ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ 4∆(g)∆(bg ). Ïî ïðèíöè-
ïó íåîïðåäåëåííîñòè Ãåéçåíáåðãà ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
                                           g ) ≥ 2.
                                    4∆(g)∆(b                                    (1)

   ñëó÷àå, êîãäà g ñîâïàäàåò ñ ôóíêöèåé Ãàóññà
                                     1   2
                           gα (t) = √ e−t /4α ,              α > 0,
                                   2 πα
ïîëó÷àåòñÿ ïðÿìîóãîëüíèê
                            √ √          √         √
                 R[gα ] = [− α, α] × [−(2 α)−1 , (2 α)−1 ].
Íåðàâåíñòâî (1) ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì, òàê êàê ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà R[gα ]
ðàâíà 2.
  Äëÿ ôèêñèðîâàííûõ α > 0, b, ξ ∈ R, ïîëîæèì
                           Gαb, ξ (t) = eiξt gα (t − b),      t ∈ R.
Îòìåòèì, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè
                                          1       2
                            gα (t − b) = √ e−(t−b) /4α
                                        2 πα
ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé t = b, ýòà ôóíêöèÿ áåñêîíå÷íî äèôôåðåí-
öèðóåìà è áûñòðî óáûâàåò ê íóëþ ïðè |t| → ∞; êðîìå òîãî,
                       Z                         Z
                             gα (t − b) db =           gα (x) dx = 1.
                        R                          R

                                              39

Страницы