Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

f ∈ L
2
(R)
(G
α
b
f)(ξ) =
Z
R
f(t)G
α
b, ξ
(t) dt (2)
(G
α
b
f)(ξ) =
Z
R
(f(t)g
α
(t − b))e
−iξt
dt. (3)
f(t)
g
α
(t −b)
(G
α
b
f)(ξ)
b
f(ξ) b
α > 0
R[G
α
b, ξ
] = [b −
√
α, b +
√
α] × [ξ − (2
√
α)
−1
, ξ + (2
√
α)
−1
]
(b, ξ)
2
√
α 1/
√
α α = 1/2
(G
α
b
f)(ξ) = (f, G
α
b, ξ
) =
1
2π
(
b
f,
b
G
α
b, ξ
), (4)
b
G
α
b, ξ
(η) = e
−ib(η−ξ)
e
−α(η−ξ)
.
f
(G
α
b
f)(ξ) =
e
−ibξ
2
√
πα
Z
R
(e
ibη
b
f(η))g
1/4α
(η − ξ) dη. (5)
ψ ∈ L
2
(R)
0 < c
ψ
:=
Z
R
|ξ|
−1
|
b
ψ(ξ)|
2
dξ < +∞, )
L
2
(R) ψ ∈ L
1
(R) ∩L
2
(R)
b
ψ R
b
ψ(0) =
Z
R
ψ(t) dt = 0. (6)
ψ ∈ L
2
(R)
L
2
(R)
L
2
(R)
  Ïðåîáðàçîâàíèå Ãàáîðà ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè f ∈ L2 (R) îïðåäåëÿåòñÿ
ðàâåíñòâîì                         Z
                        α
                      (Gb f )(ξ) =   f (t)Gαb, ξ (t) dt          (2)
                                                    R
èëè                                    Z
                      (Gbα f )(ξ) =            (f (t)gα (t − b))e−iξt dt.            (3)
                                           R
   Ïîä çíàêîì èíòåãðàëà â ôîðìóëå (3) ôóíêöèÿ f (t) ñíà÷àëà óìíîæàåòñÿ íà
ñãëàæèâàþùóþ è ëîêàëèçàöèîííóþ ôóíêöèþ gα (t − b), à çàòåì ê ïîëó÷åííî-
ìó ïðîèçâåäåíèþ ïðèìåíÿåòñÿ îáû÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå. Ïîëó÷åííóþ
â ðåçóëüòàòå ôóíêöèþ (Gbα f )(ξ) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê íåêîòîðóþ ëîêà-
ëèçàöèþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå fb(ξ) â îêðåñòíîñòè òî÷êè b.
   Ïðè ëþáîì α > 0 ÷àñòîòíî-âðåìåííîé ïðÿìîóãîëüíèê
                              √            √               √             √
          R[Gαb, ξ ] = [b −       α, b +       α] × [ξ − (2 α)−1 , ξ + (2 α)−1 ]
èìååò
 √ ïëîùàäü, ðàâíóþ 2√  (åãî öåíòð ðàñïîëîæåí â òî÷êå (b, ξ), øèðèíà ðàâíà
2 α, à âûñîòà ðàâíà 1/ α). Ïðè α = 1/2 ýòîò ïðÿìîóãîëüíèê ÿâëÿåòñÿ
êâàäðàòîì.
  Ïîëüçóÿñü ðàâåíñòâîì Ïàðñåâàëÿ  Ïëàíøåðåëÿ (1.11), èç ôîðìóëû (2)
ïîëó÷àåì
                                                              1 b bα
                       (Gbα f )(ξ) = (f, Gαb, ξ ) =             (f , Gb, ξ ),        (4)
                                                             2π
ãäå
                              bαb, ξ (η) = e−ib(η−ξ) e−α(η−ξ) .
                              G
Îòñþäà âûâîäèòñÿ ôîðìóëà, âûðàæàþùàÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãàáîðà ÷åðåç ïðå-
îáðàçîâàíèå Ôóðüå ôóíêöèè f :
                                e−ibξ
                                               Z
                (Gbα f )(ξ)   = √                   (eibη fb(η))g1/4α (η − ξ) dη.    (5)
                               2 πα             R

  Ôóíêöèÿ ψ ∈ L2 (R), óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ äîïóñòèìîñòè
                                      Z
                       0 < cψ :=               |ξ|−1 |ψ(ξ)|
                                                      b 2 dξ < +∞,                  (D1)
                                           R

íàçûâàåòñÿ âåéâëåòîì â L2 (R). Åñëè ψ ∈ L1 (R) ∩ L2 (R), òî ïðåîáðàçîâàíèå
Ôóðüå ψb íåïðåðûâíî íà R è èç (D1) ñëåäóåò, ÷òî
                                               Z
                                  ψ(0)
                                  b =                  ψ(t) dt = 0.                  (6)
                                                   R

Èçâåñòíî, ÷òî åñëè ê ìíîæåñòâó âñåõ ôóíêöèé ψ ∈ L2 (R), óäîâëåòâîðÿþùèõ
óñëîâèþ (D1), äîáàâèòü íóëåâîé ýëåìåíò ïðîñòðàíñòâà L2 (R), òî ïîëó÷èòñÿ
ïëîòíîå â L2 (R) ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî.

                                                    40

Страницы