Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ψ(t) =
1, t ∈ [0, 1/2),
−1, t ∈ [1/2, 1),
0, t ∈ R \ [0, 1).
ψ(t) = (1 − t
2
)e
−t
2
/2
.
ψ(t) =
1, |t| ≤ 1/3,
−1/2, 1/3 < |t| ≤ 1,
0, |t| > 1.
ψ(t) = e
−t
2
/2
−
1
2
e
−t
2
/8
.
ψ
m
(t) =
2
m
i
m
m!
p
π(2m!)
(1 − it)
−(m+1)
, m ∈ N.
ψ
α
(t) =
1
2π
Γ(α + 1)
(1 − it)
α+1
, α > 0.
ψ
γ
(t) = π
−1/4
(e
−iγt
− e
−γ
2
/2
)e
−t
2
/2
, γ ∈ R.
α
R
∗
R
∗
= R\{0}
(a, b) ∈ R
∗
× R ψ
ψ
a,b
(t) := |a|
−1/2
ψ((t − b)/a).
kψ
a,b
k = kψk
f ∈ L
2
(R)
(W
ψ
f)(a, b) =
Z
R
f(t)ψ
a,b
(t) dt. (7)
  Ïðèìåðû.
  1) Âåéâëåò Õààðà:
                              
                               1,                t ∈ [0, 1/2),
                       ψ(t) =   −1,               t ∈ [1/2, 1),
                               0,                t ∈ R \ [0, 1).

  2) Âåéâëåò Ìàððà èëè "ìåêñèêàíñêàÿ øëÿïà":
                                                              2
                            ψ(t) = (1 − t2 )e−t                   /2
                                                                       .
  3) Âåéâëåò "ôðàíöóçñêàÿ øëÿïà":
                             
                                1,                | t| ≤ 1/3,
                      ψ(t) =   −1/2,               1/3 < | t| ≤ 1,
                                0,                |t| > 1.

  3) DOG-âåéâëåò:
                                         2              1 −t2 /8
                           ψ(t) = e−t        /2
                                                  −       e      .
                                                        2
  4) Âåéâëåòû Ïàóëà:
                         2m im m!
                ψm (t) = p        (1 − it)−(m+1) ,                               m ∈ N.
                           π(2m!)
  5) Âåéâëåòû Êîøè:
                                   1 Γ(α + 1)
                       ψα (t) =                  ,                  α > 0.
                                  2π (1 − it)α+1
  6) Âåéâëåòû Ìîðëå:
                                                    2               2
               ψγ (t) = π −1/4 (e−iγt − e−γ             /2
                                                             )e−t       /2
                                                                             ,   γ ∈ R.
   Îòìåòèì, ÷òî âåéâëåòû Êîøè ïðè öåëûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà α òîëüêî
ïîñòîÿííûì èíîæèòåëåì îòëè÷àþòñÿ îò ñîîòâåòñòâóþùèõ âåéâëåòîâ Ïàóëà.
  Ïóñòü R∗  ìíîæåñòâî íåíóëåâûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, ò.å. R∗ = R\{0}.
Äëÿ êàæäîé ïàðû (a, b) ∈ R∗ × R è ïðîèçâîëüíîãî âåéâëåòà ψ ïîëîæèì

                        ψa,b (t) := | a|−1/2 ψ((t − b)/a).
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî kψa,b k = kψk.
  Íåïðåðûâíîå (èëè èíòåãðàëüíîå) âåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèå ïðîèçâîëüíîé
ôóíêöèè f ∈ L2 (R) îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì
                                         Z
                       (Wψ f )(a, b) =             f (t)ψa,b (t) dt.                      (7)
                                              R

                                         41

Страницы