Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ψ R
f(t) = lim
ε→0
f
+
ε
(t)
t f
f
{W
ψ
f(a, b) | a > 0, b ∈ R}
f
ψ α
0
> 1 β
0
> 0 1 < α ≤ α
0
0 < β ≤ β
0
f ∈ L
2
(R)
f(t) =
X
j,k∈Z
c
j,k
ψ(α
j
t − βk)
c
j,k
= W
ψ
(α
−j
, βkα
−j
)
m
X
j,k∈Z
|c
j,k
|
2
1/2
≤ kfk ≤ M
X
j,k∈Z
|c
j,k
|
2
1/2
, (8)
m M f
ψ α
0
= 2 β
0
= 1
m M
(W
ψ
f)(a, b) = (f, ψ
a,b
) =
1
2π
(
b
f,
b
ψ
a,b
),
b
ψ
a,b
(ξ) = |a|
1/2
b
ψ(aξ)e
−ibξ
.
f
(W
ψ
f)(a, b) =
|a|
1/2
2π
Z
R
b
f(ξ)
b
ψ(aξ)e
ibξ
dξ. (9)
a 6= 0
(W
ψ
f)(a, ·) : b 7→ (W
ψ
f)(a, b)
F
a
(ξ) := |a|
1/2
b
f(ξ)
b
ψ(aξ).
Áîëåå òîãî, åñëè ôóíêöèÿ ψ íåïðåðûâíà íà R, òî
                                         f (t) = lim fε+ (t)
                                                  ε→0

â êàæäîé òî÷êå t, ãäå f íåïðåðûâíà.
   Çàìå÷àíèå 1. Ïðè óñëîâèÿõ òåîðåìû 2 ôóíêöèÿ f âîññòàíàâëèâàåòñÿ ïî
ìíîæåñòâó çíà÷åíèé {Wψ f (a, b) | a > 0, b ∈ R}. ×àñòî ýòà èíôîðìàöèÿ äëÿ
âîññòàíîâëåíèÿ ôóíêöèè f îêàçûâàåòñÿ èçáûòî÷íîé. Äëÿ íåêîòîðûõ âåéâëå-
òîâ ψ ñóùåñòâóþò α0 > 1, β0 > 0 òàêèå, ÷òî äëÿ 1 < α ≤ α0 , 0 < β ≤ β0 ,
êàæäàÿ ôóíêöèÿ f ∈ L2 (R) ðàçëàãàåòñÿ â ðÿä
                                X
                        f (t) =      cj,k ψ(αj t − βk)
                                          j,k∈Z

ñ êîýôôèöèåíòàìè cj,k = Wψ (α−j , βkα−j ). Ïðè ýòîì èìåþò ìåñòî íåðàâåíñòâà
                                  1/2                                         1/2
                    X                                             X
             m             |cj,k |2       ≤ kf k ≤ M                   |cj,k |2     ,        (8)
                    j,k∈Z                                         j,k∈Z

ãäå ïîëîæèòåëüíûå êîíñòàíòû m è M íå çàâèñÿò îò f (î ñâÿçàííîì ñ ýòèìè
íåðàâåíñòâàìè ïîíÿòèè ôðåéìà, ñì., íàïðèìåð, â [1, ãëàâà 4], [6, ãëàâà 3]).
 ñëó÷àå, êîãäà ψ  âåéâëåò Õààðà, ìîæíî âûáðàòü α0 = 2, β0 = 1; òîãäà
íåðàâåíñòâà (8) îáðàùàþòñÿ â ðàâåíñòâà, ïðè÷åì îáå êîíñòàíòû m è M ðàâíû
1 (ñì. Ÿ3).
  Èç ôîðìóëû (7) àíàëîãè÷íî (4) èìååì
                                                               1 b b
                      (Wψ f )(a, b) = (f, ψa,b ) =               (f , ψa,b ),
                                                              2π
ãäå
                                                         −ibξ
                               ψba,b (ξ) = | a|1/2 ψ(aξ)e
                                                   b          .
Îòñþäà    ñëåäóåò    ôîðìóëà,    âûðàæàþùàÿ    íåïðåðûâíîå                                  âåéâëåò-
ïðåîáðàçîâàíèÿ ÷åðåç ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ôóíêöèè f :

                                  | a|1/2
                                                   Z
                                                                      ibξ
                  (Wψ f )(a, b) =                          fb(ξ)ψ(aξ)e
                                                                b         dξ.                    (9)
                                    2π                 R

Òàêèì îáðàçîì, ïðè ôèêñèðîâàííîì a 6= 0 îòîáðàæåíèå

                             (Wψ f )(a, ·) : b 7→ (Wψ f )(a, b)
ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ôóíêöèè

                                Fa (ξ) := | a|1/2 fb(ξ)ψ(aξ).
                                                       b


                                                  43

Страницы