Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

lim
a→0
a
−3/2
W
ψ
f(a, t
0
) = µ
1
f
0
(t
0
).
2
0 < α ≤ 1 f
R α f ∈ H
(α)
(R)
C > 0
|f(t) − f(s) | ≤ C|t − s |
α
t, s ∈ R.
H
(α)
(t
0
) f
|f(t
0
+ t) − f(t
0
) | ≤ C|t |
α
t ∈ R,
C t
ψ ∈ L
2
(R)
Z
R
ψ(t) dt = 0
Z
R
(1 + |t |)|ψ(t)|dt < +∞, (10)
f ∈ L
2
(R) R 0 < α ≤ 1
f ∈ H
(α)
(R) |W
ψ
f(a, b)| ≤ C|a|
α+1/2
f ∈ H
(α)
(t
0
) |W
ψ
f(a, t
0
+ b)| ≤ C|a|
1/2
(|a|
α
+ |b|
α
)
a > 0
W
ψ
f(a, b) = a
−1/2
Z
R
(f(t) − f(b)) ψ
t − b
a
dt
|W
ψ
f(a, b)| ≤ Ca
−1/2
Z
R
|t − b |
α
ψ
t − b
a
dt =
= Ca
α+1/2
Z
R
|y |
α
|ψ(y)|dy ≤ Ca
α+1/2
,
t = b + ay
|y |
α
≤ 1 + |y |
2
ψ ∈ L
2
(R)
f ∈ L
2
(R) R 0 < α < 1
|W
ψ
f(a, b)| ≤ C|a|
α+1/2
f ∈ H
(α)
(R)
γ
|W
ψ
f(a, b)| ≤ C|a|
γ+1/2
b
Ïîýòîìó
                           lim a−3/2 Wψ f (a, t0 ) = µ1 f 0 (t0 ).
                           a→0
                                                                2
  Ïóñòü 0 < α ≤ 1. Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f óäîâëåòâîðÿåò íà ïðÿìîé
R óñëîâèþ Ëèïøèöà (èëè Ãåëüäåðà) ïîðÿäêà α è ïèøóò f ∈ H (α) (R), åñëè
ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà C > 0 òàêàÿ, ÷òî
                 | f (t) − f (s) | ≤ C| t − s |α äëÿ âñåõ t, s ∈ R.
×åðåç H (α) (t0 ) îáîçíà÷àþò êëàññ ôóíêöèé f òàêèõ, ÷òî
                  | f (t0 + t) − f (t0 ) | ≤ C| t |α äëÿ âñåõ t ∈ R,
ãäå êîíñòàíòà C íå çàâèñèò îò t.
   Òåîðåìà 4. Ïóñòü ôóíêöèÿ ψ ∈ L2 (R) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì
            Z                Z
               ψ(t) dt = 0 è    (1 + | t |)| ψ(t)| dt < +∞,                                  (10)
                   R                           R

à ôóíêöèÿ f ∈ L2 (R) îãðàíè÷åíà íà R, è ïóñòü 0 < α ≤ 1. Òîãäà:
   (a) åñëè f ∈ H (α) (R), òî |Wψ f (a, b)| ≤ C| a|α+1/2 ;
   (b) åñëè f ∈ H (α) (t0 ), òî |Wψ f (a, t0 + b)| ≤ C| a|1/2 (| a|α + | b|α ).
   Äîêàæåì óòâåðæäåíèå (a). Ó÷èòûâàÿ (7) è (10), äëÿ a > 0 èìååì
                                                                           
                                                                        t−b
                                        Z
                  Wψ f (a, b) = a−1/2          (f (t) − f (b)) ψ              dt
                                          R                              a
è, ñëåäîâàòåëüíî,
                                                        
                                                   t−b
                          Z
 |Wψ f (a, b)| ≤ Ca−1/2         | t − b |α ψ                 dt =
                            R                       a
                                                               Z
                                                   = Caα+1/2        | y |α |ψ(y)| dy ≤ Caα+1/2 ,
                                                               R

ãäå âûïîëíåíà ïîäñòàíîâêà t = b + ay è èñïîëüçîâàíî íåðàâåíñòâî
| y |α ≤ 1 + | y |.
                                                                                         2
   Òåîðåìà 4 äîïóñêàåò ÷àñòè÷íîå îáðàùåíèå:
   Òåîðåìà 5. Ïóñòü ôóíêöèÿ ψ ∈ L2 (R) èìååò êîìïàêòíûé íîñèòåëü,
à ôóíêöèÿ f ∈ L2 (R) îãðàíè÷åíà è íåïðåðûâíà íà R, è ïóñòü 0 < α < 1.
Òîãäà:
   (a) åñëè |Wψ f (a, b)| ≤ C| a|α+1/2 , òî f ∈ H (α) (R);
   (b) åñëè äëÿ íåêîòîðîãî γ

                    |Wψ f (a, b)| ≤ C| a|γ+1/2 ðàâíîìåðíî ïî b

                                                   45

Страницы