Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

|W
ψ
f(a, t
0
+ b)| ≤ C|a|
1/2
|a|
α
+
|b|
α
|log |b||
,
f ∈ H
(α)
(t
0
)
0 < α < 1
H
(α)
(R) H
(α)
(t
0
)
W (t) =
∞
X
n=1
sin(πn
2
t)
n
2
W (t)
W (t)
W
0
(t)
t = (2p + 1)/(2q + 1) p ∈ Z q ∈ N
W (t)
ψ ∈ L
2
(R)
Z
R
ψ(t) dt = 0
Z
R
|t||ψ(t)|dt < +∞,
ψ L
2
(R)
g ∈ L
2
(R) g
(k)
∈ L
2
(R) kg
(k)
k > 0
k ψ = g
(k)
L
2
(R)
L
2
(R)
e
−t
2
/2
è                                                                   α
                                                                          
                                                                 | b|
                  |Wψ f (a, t0 + b)| ≤ C| a|1/2       | a|α +               ,
                                                              | log | b||
òî f ∈ H (α) (t0 ).
   Äëÿ 0 < α < 1 òåîðåìû 4 è 5 äàþò âåéâëåò-õàðàêòåðèçàöèþ êëàññîâ
H (R) è H (α) (t0 ) (ïîäðîáíîñòè ñì. â [6, Ÿ2.9]).
    (α)

   Çàìå÷àíèå 2. Íåïðåðûâíîå âåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèå èíîãäà íàçûâàþò
"ìàòåìàòè÷åñêèì ìèêðîñêîïîì", òàê êàê ñ åãî ïîìîùüþ óäàåòñÿ ïðîâî-
äèòü äåòàëüíûé àíàëèç ëîêàëüíûõ ñâîéñòâ ôóíêöèé. Îãðàíè÷èìñÿ çäåñü
îäíèì ïðèìåðîì. Â XIX âåêå Ðèìàí ïðåäïîëîæèë, ÷òî íåïðåðûâíàÿ 2-
ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ
                                          ∞
                                          X sin(πn2 t)
                                W (t) =
                                          n=1
                                                  n2

íèãäå íå äèôôåðåíöèðóåìà. Â 1916 ã. Õàðäè äîêàçàë, ÷òî ôóíêöèÿ W (t) íå
äèôôåðåíöèðóåìà â èððàöèîíàëüíûõ è íåêîòîðûõ ðàöèîíàëüíûõ òî÷êàõ. Â
1970 ã. Ãåðâåð äîêàçàë, ÷òî W (t) äèôôåðåíöèðóåìà âî âñåõ òî÷êàõ, êðîìå
òî÷åê, óêàçàííûõ Õàðäè. À èìåííî, ïðîèçâîäíàÿ W 0 (t) ñóùåñòâóåò òîëüêî â
òî÷êàõ âèäà t = (2p + 1)/(2q + 1), p ∈ Z, q ∈ N.  1990 ã. Õîëüøíåéäåð è
×àìè÷àí ñ ïîìîùüþ íåïðåðûâíîãî âåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîëó÷èëè íîâîå
äîêàçàòåëüñòâî ðåçóëüòàòîâ Õàðäè  Ãåðâåðà è ïîëíîñòüþ îõàðàêòåðèçîâàëè
îñîáåííîñòè ôóíêöèè W (t) â ðàöèîíàëüíûõ òî÷êàõ, ãäå îíà íå äèôôåðåíöè-
ðóåìà. Ýòè è äðóãèå ðåçóëüòàòû î ïîòî÷å÷íîé ðåãóëÿðíîñòè ôóíêöèè Ðèìàíà
ïîäðîáíî èçëîæåíû â ìîíîãðàôèÿõ [26] è [27]. Î ïðèìåíåíèÿõ íåïðåðûâíî-
ãî âåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèÿ ê àíàëèçó ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ è èññëåäîâàíèþ
äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì (à òàêæå ê íåêîòîðûì çàäà÷àì ãåîôèçèêè) ìîæíî ïðî-
÷èòàòü â êíèãå [11].

Óïðàæíåíèÿ
     1. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ψ ∈ L2 (R) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì
                      Z                    Z
                          ψ(t) dt = 0 è         | t| |ψ(t)| dt < +∞,
                      R                     R

òî ψ ÿâëÿåòñÿ âåéâëåòîì â L2 (R).
     2. Ïîñòðîéòå ãðàôèêè âåéâëåòà Ìàððà è DOG-âåéâëåòà.
    3. Ïóñòü g ∈ L2 (R), g (k) ∈ L2 (R) è kg (k) k > 0 äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî
k . Äîêàæèòå, ÷òî òîãäà ψ = g (k) ÿâëÿåòñÿ âåéâëåòîì â L2 (R).
   4. Äîêàæèòå, ÷òî âåéâëåòîì â L2 (R) ÿâëÿåòñÿ ëþáàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè
   2
e−t /2 .


                                           46

Страницы