Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ψ ∈ L
1
(R) ∩ L
2
(R)
Z
R
ψ(t) dt = 0
L
2
(R)
ψ(t) =
1, t ∈ [0, 1/2),
−1, t ∈ [1/2, 1),
0, t ∈ R \ [0, 1).
{ψ
jk
} ψ
ψ
jk
(t) = 2
j/2
ψ(2
j
t − k), j, k ∈ Z. (1)
Z
R
ψ
jk
(t) dt = 0, j, k ∈ Z.
n ∈ Z
I
(n)
k
= [k2
−n
, (k + 1)2
−n
), k ∈ Z,
n
n + 1
n I
(n)
k
= I
(n+1)
2k
∪ I
(n+1)
2k+1
k ∈ Z
j, k ∈ Z
ψ
jk
(t) =
2
j/2
, t ∈ I
(j+1)
2k
,
−2
j/2
, t ∈ I
(j+1)
2k+1
,
0, t ∈ R \ I
(j)
k
.
L
2
(R)
(ψ
jk
, ψ
sl
) = 0, j 6= s k 6= l. (2)
  5. Äîêàæèòå, ÷òî ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ ψ ∈ L1 (R) ∩ L2 (R), óäîâëåòâî-
ðÿþùàÿ óñëîâèþ              Z
                                         ψ(t) dt = 0
                                     R
è îáëàäàþùàÿ êîìïàêòíûì íîñèòåëåì, ÿâëÿåòñÿ âåéâëåòîì â L2 (R).
  6. Äîêàæèòå óòâåðæäåíèå (b) òåîðåìû 4.


         Ÿ 3. Êðàòíîìàñøòàáíûé àíàëèç Õààðà íà ïðÿìîé

  Âåéâëåòîì Õààðà íàçûâàþò ôóíêöèþ
                           
                            1, t ∈ [0, 1/2),
                    ψ(t) =   −1, t ∈ [1/2, 1),
                            0, t ∈ R \ [0, 1).

Ñèñòåìà Õààðà {ψjk } ïîëó÷àåòñÿ èç âåéâëåòà ψ ñ ïîìîùüþ ñäâèãîâ è ðàñòÿ-
æåíèé ïî ôîðìóëå

                    ψjk (t) = 2j/2 ψ(2j t − k),        j, k ∈ Z.        (1)
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî        Z
                                ψjk (t) dt = 0,   j, k ∈ Z.
                            R

  Äëÿ êàæäîãî n ∈ Z ÷èñëîâûå ïðîìåæóòêè
                      (n)
                     Ik = [k2−n , (k + 1)2−n ),         k ∈ Z,
íàçûâàþò äâîè÷íûìè èíòåðâàëàìè ðàíãà n. Ñïðàâåäëèâû ñâîéñòâà:
   1. Äâîè÷íûå èíòåðâàëû îäíîãî ðàíãà ëèáî íå ïåðåñåêàþòñÿ, ëèáî ñîâïàäà-
þò.
   2. Äâîè÷íûå èíòåðâàëû ðàíãà n + 1 ïîëó÷àþòñÿ äåëåíèåì ïîïîëàì äâîè÷-
                               (n)  (n+1)    (n+1)
íûõ èíòåðâàëîâ ðàíãà n (ò. å. Ik = I2k    ∪ I2k+1 äëÿ âñåõ k ∈ Z ).
   3. Åñëè äâà äâîè÷íûõ èíòåðâàëà ðàçíûõ ðàíãîâ ïåðåñåêàþòñÿ, òî îäèí èç
íèõ ñîäåðæèòñÿ â äðóãîì.
   Äëÿ âñåõ j, k ∈ Z èìååì
                                
                                               (j+1)
                                 2j/2 , t ∈ I2k ,
                                
                                               (j+1)
                      ψjk (t) =   −2j/2 , t ∈ I2k+1 ,
                                                    (j)
                                   0,     t ∈ R \ Ik .
                                

  Äîêàæåì ñâîéñòâî îðòîãîíàëüíîñòè ñèñòåìû Õààðà â ïðîñòðàíñòâå L2 (R):
                (ψjk , ψsl ) = 0,     åñëè j 6= s      èëè    k 6= l.   (2)

                                           47

Страницы