Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

a b
ψ
a,b
R[ψ
a,b
] = [b + am(ψ) − a∆(ψ), b + am(ψ) + a∆(ψ)]×
× [m(
b
ψ)/a − ∆(
b
ψ)/a, m(
b
ψ)/a + ∆(
b
ψ)/a].
a > 0 2a∆(ψ)
∆(
b
ψ)/a R[ψ
a,b
]
a > 0 a > 0
R[ψ
a,b
] (b+ am(ψ), m(
b
ψ)/a)
4∆(ψ)∆(
b
ψ)
W
ψ
f
a = const
|b| → +∞
W
ψ
f(a, b) a → 0
b
f t = b
b f
W
ψ
f(a, b) a → 0
ψ ∈ L
1
(R) ∩ L
2
(R) N
Z
R
t
l
ψ(t) dt = 0 0 ≤ l ≤ N − 1
Z
R
t
N
ψ(t) dt =: µ
N
6= 0
Z
R
|t|
N
|ψ(t)|dt < +∞,
f ∈ L
2
(R) f
(N)
(t
0
) t
0
> 0
lim
a→0
|a|
−N−1/2
W
ψ
f(a, t
0
) = µ
N
f
(N)
(t
0
)
N!
.
N = 1 a > 0
Z
R
ψ(t) dt = 0,
Z
R
t ψ(t) dt = µ
1
6= 0
f(t) = f(t
0
) + f
0
(t
0
)(t − t
0
) + r(t), r(t) = o(t − t
0
) (t → t
0
)
W
ψ
f(a, t
0
) = a
−1/2
Z
R
[f
0
(t
0
)(t − t
0
) + r(t)] ψ
t − t
0
a
dt =
= a
3/2
f
0
(t
0
)
Z
R
τψ(τ) dτ + o(a)
.
   Â òåîðèè âåéâëåòîâ îñü a ìàñøòàáèðóåòñÿ âåðòèêàëüíî, à îñü b ãîðèçîí-
òàëüíî. ×àñòîòíî-âðåìåííîé ïðÿìîóãîëüíèê ôóíêöèè ψa,b èìååò âèä
    R[ψa,b ] = [b + am(ψ) − a∆(ψ), b + am(ψ) + a∆(ψ)]×
                                      × [m(ψ)/a
                                           b    − ∆(ψ)/a,
                                                    b     m(ψ)/a
                                                            b    + ∆(ψ)/a].
                                                                     b
Ïðè a > 0 ýòîò ïðÿìîóãîëüíèê èìååò øèðèíó, ðàâíóþ 2a∆(ψ), è âûñîòó,
ðàâíóþ ∆(ψ)/a
           b . Îòìåòèì, ÷òî øèðèíà ïðÿìîóãîëüíèêà R[ψa,b ] ñóæàåòñÿ äëÿ
âûñîêèõ ÷àñòîò (a > 0  ìàëî) è ðàñøèðÿåòñÿ äëÿ íèçêèõ ÷àñòîò ( a > 0  âå-
ëèêî). Öåíòð ïðÿìîóãîëüíèêà R[ψa,b ] ðàñïîëîæåí â òî÷êå (b+am(ψ), m(ψ)/a)
                                                                     b    ,
à åãî ïëîùàäü ðàâíà 4∆(ψ)∆(ψ)   b.
   Èç ôîðìóëû (9) ïî òåîðåìå Ðèìàíà  Ëåáåãà ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ Wψ f
íåïðåðûâíà íà ãîðèçîíòàëüíûõ ïðÿìûõ a = const è ñòðåìèòñÿ íà íèõ ê íóëþ
ïðè | b| → +∞.
   Èçó÷åíèå àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ Wψ f (a, b) ïðè a → 0 â äàííîé òî÷êå
b ïîçâîëÿåò ïðèìåíÿòü âåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèå äëÿ àíàëèçà ñâîéñòâ ôóíêöèè
f â îêðåñòíîñòè òî÷êè t = b, à òàêæå â ñàìîé ýòîé òî÷êå. Èçâåñòíî, íàïðè-
ìåð, ÷òî ÷åì áîëåå ãëàäêîé â îêðåñòíîñòè òî÷êè b ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ f , òåì
áûñòðåå Wψ f (a, b) ñõîäèòñÿ ê 0 ïðè a → 0. Òåîðåìû 3 è 4 èëëþñòðèðóþò ýòî
ÿâëåíèå (äîêàçàòåëüñòâà ýòèõ òåîðåì ñì., íàïðèìåð, â [6], [26]).
   Òåîðåìà 3. Ïóñòü ôóíêöèÿ ψ ∈ L1 (R) ∩ L2 (R) èìååò N íóëåâûõ ìî-
ìåíòîâ:
        Z                                                      Z
             t ψ(t) dt = 0 äëÿ 0 ≤ l ≤ N − 1 è
             l
                                                                     tN ψ(t) dt =: µN 6= 0
         R                                                       R
è ïóñòü                           Z
                                      | t|N | ψ(t)| dt < +∞,
                                  R
à ôóíêöèÿ f ∈ L (R) èìååò ïðîèçâîäíóþ f (N ) (t0 ), ãäå t0 > 0. Òîãäà
                    2


                                −N −1/2                      f (N ) (t0 )
                        lim |a|           Wψ f (a, t0 ) = µN              .
                        a→0                                     N!
     Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà N = 1 è a > 0. Òîãäà èç ôîðìóë
                        Z                       Z
                             ψ(t) dt = 0,            t ψ(t) dt = µ1 6= 0
                         R                       R
è
          f (t) = f (t0 ) + f 0 (t0 )(t − t0 ) + r(t), r(t) = o(t − t0 ) (t → t0 )
ñîãëàñíî (7) èìååì
                                                                
                                                          t − t0
                         Z
                    −1/2       0
  Wψ f (a, t0 ) = a         [f (t0 )(t − t0 ) + r(t)] ψ             dt =
                          R                                 a
                                                                   Z                   
                                                   = a3/2 f 0 (t0 )    τ ψ(τ ) dτ + o(a) .
                                                                         R


                                                44

Страницы