Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

W
ψ
f L
2
(R) W
ψ
f
R
∗
×R W
ψ
f
|(W
ψ
f)(a, b)| ≤ kfkkψk (a, b) ∈ R
∗
× R.
W
ψ
f
f
ψ ∈ L
1
(R)∩L
2
(R)
f ∈ L
2
(R)
kfk
2
=
1
c
ψ
ZZ
R
∗
×R
|W
ψ
f(a, b)|
2
da db
a
2
lim
ε→0
kf − f
ε
k = 0,
f
ε
(t) =
1
c
ψ
Z
|a|>ε
Z
R
W
ψ
f(a, b)ψ
a,b
(t) db
da
a
2
.
ψ R
f(t) = lim
ε→0
f
ε
(t)
t f
0 < c
st
ψ
:=
Z
∞
0
ξ
−1
|
b
ψ(ξ)|
2
dξ =
Z
∞
0
ξ
−1
|
b
ψ(−ξ)|
2
dξ < +∞. )
c
ψ
= 2c
st
ψ
ψ
b
ψ(ξ) =
b
ψ(−ξ) c
st
ψ
=
c
ψ
/2
ψ ∈ L
1
(R) ∩L
2
(R)
f ∈ L
2
(R)
kfk
2
=
1
c
st
ψ
Z
∞
0
Z
∞
−∞
|W
ψ
f(a, b)|
2
db
da
a
2
lim
ε→0
kf − f
+
ε
k = 0,
f
+
ε
(t) =
1
c
st
ψ
Z
∞
ε
Z
∞
−∞
W
ψ
f(a, b)ψ
a,b
(t) db
da
a
2
.
Òàêèì îáðàçîì, âåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèå Wψ ïåðåâîäèò ïðîèçâîëüíóþ ôóíê-
öèþ f ïðîñòðàíñòâà L2 (R) â ôóíêöèþ Wψ f äâóõ ïåðåìåííûõ, çàäàííóþ íà
ìíîæåñòâå R∗ ×R. Ïî íåðàâåíñòâó Êîøè  Áóíÿêîâñêîãî ôóíêöèÿ Wψ f îãðà-
íè÷åíà:
           |(Wψ f )(a, b)| ≤ kf k kψk äëÿ âñåõ (a, b) ∈ R∗ × R.
   Cîãëàñíî ñëåäóþùåé òåîðåìå ïî âåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèþ Wψ f ìîæíî âîñ-
ñòàíîâèòü íå òîëüêî íîðìó, íî è çíà÷åíèÿ èñõîäíîé ôóíêöèè f .
   Òåîðåìà 1 (Grossman  Morlet, 1984) . Ïóñòü ôóíêöèÿ ψ ∈ L1 (R)∩L2 (R)
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (D1). Òîãäà äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè f ∈ L2 (R)
ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà
                             ZZ
                       2   1                       da db
                   kf k =            |Wψ f (a, b)|2 2
                          cψ   R∗ ×R                a
è
                                           lim kf − fε k = 0,
                                           ε→0
ãäå                                Z           Z                             
                           1                                                      da
                 fε (t) =                            Wψ f (a, b)ψa,b (t) db          .
                          cψ           |a|>ε     R                                a2
Áîëåå òîãî, åñëè ôóíêöèÿ ψ íåïðåðûâíà íà R, òî
                                            f (t) = lim fε (t)
                                                      ε→0

â êàæäîé òî÷êå t, ãäå f íåïðåðûâíà.
    Èíîãäà âìåñòî óñëîâèÿ (D1) ïðèíèìàþò óñëîâèå
                          Z   ∞                            Z    ∞
                                  −1
          0<   cst
                ψ    :=              b 2 dξ =
                                  ξ |ψ(ξ)|                          ξ −1 |ψ(−ξ)|
                                                                          b     2
                                                                                  dξ < +∞.   (D2)
                          0                                 0

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî èç (D2) ñëåäóåò (D1) ñ êîíñòàíòîé cψ = 2cst
                                                           ψ . Åñëè âåéâëåò
ψ âåùåñòâåííûé, òî ψ(ξ)
                     b = ψ(−ξ)
                           b     è èç (D1) ñëåäóåò (D2) ñ êîíñòàíòîé cst
                                                                      ψ =
cψ /2. Èìååò ìåñòî ñëåäóþùèé àíàëîã òåîðåìû 1.
  Òåîðåìà 2. Ïóñòü ôóíêöèÿ ψ ∈ L1 (R) ∩ L2 (R) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
(D2). Òîãäà äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè f ∈ L2 (R) ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà
                             Z ∞ Z ∞                   
                          1                               da
                  kf k2 = st          |Wψ f (a, b)|2 db
                         cψ 0      −∞                     a2
è
                                           lim kf − fε+ k = 0,
                                           ε→0
ãäå                                Z       ∞ Z ∞                              
                          1                                                        da
                fε+ (t) = st                          Wψ f (a, b)ψa,b (t) db          .
                         cψ            ε         −∞                                a2

                                                      42

Страницы