Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

k −k
f(t) =
1
2a
X
k
f(kT )
a
Z
−a
e
iξ(t−kT)
dξ.
a
Z
−a
e
iξϕ
dϕ =
1
iϕ
(e
iaϕ
− e
−iaϕ
) =
2 sin(aϕ)
ϕ
,
sinc x x ∈ R
sinc x :=
sin x/x, x 6= 0,
1, x = 0.
sinc x = 1 −
x
2
3!
+
x
4
5!
−
x
6
7!
+ . . . .
sinc x R
f(t) =
X
k∈Z
f(kT ) sinc (a(t − kT ). (10)
sinc (kπ) = δ
0,k
T = π/a
f t ∈ R
f(kT ) k ∈ Z f
T a
T a T
a
f supp
b
f ⊂ [−a, a] a = π
f(t) =
X
k∈Z
f(k) sinc (π(t − k),
f
èëè, ìåíÿÿ k íà −k ,
                                                    Za
                                1 X
                       f (t) =      f (kT )              eiξ(t−kT ) dξ.
                               2a
                                        k           −a

Îòñþäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî
                  Za
                                     1 iaϕ            2 sin(aϕ)
                       eiξϕ dϕ =       (e − e−iaϕ ) =           ,
                                    iϕ                    ϕ
                 −a

ïîëó÷àåì (9). Îòìåòèì, ÷òî óñëîâèå (8) íàì ïîòðåáîâàëîñü äëÿ òîãî, ÷òîáû
îáîñíîâàòü ïåðåñòàíîâêó çíàêîâ ñóììèðîâàíèÿ è èíòåãðèðîâàíèÿ â ïðîâåäåí-
íûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ.
  Ôóíêöèÿ sinc x äëÿ x ∈ R îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
                                        
                                             sin x/x,      x 6= 0,
                         sinc x :=
                                                1,         x = 0.
Ðàçëîæåíèå ýòîé ôóíêöèè â ðÿä Ìàêëîðåíà èìååò âèä
                                     x2 x4 x6
                        sinc x = 1 −    +    −    + ....
                                     3!   5!   7!
Ôóíêöèÿ sinc x ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé, îãðàíè÷åííîé íà R áåñêîíå÷íî äèôôåðåí-
öèðóåìîé ôóíêöèåé è ïðîäîëæàåòñÿ ñ âåùåñòâåííîé ïðÿìîé íà âñþ êîìïëåêñ-
íóþ ïëîñêîñòü êàê öåëàÿ ôóíêöèÿ. Ñ ïîìîùüþ ýòîé ôóíêöèè ôîðìóëà Êî-
òåëüíèêîâà  Øåííîíà (9) çàïèñûâàåòñÿ â âèäå
                                  X
                        f (t) =         f (kT ) sinc (a(t − kT ).         (10)
                                  k∈Z


   Ïîñêîëüêó sinc (kπ) = δ0,k è T = π/a, ôîðìóëà (10) ïîêàçûâàåò, ÷òî çíà-
÷åíèå ôóíêöèè f â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå t ∈ R ïîëíîñòüþ âîññòàíàâëèâàåòñÿ
ïî "îò÷åòíûì çíà÷åíèÿì"f (kT ), k ∈ Z. Ýòè "îò÷åòíûå çíà÷åíèÿ"ôóíêöèè f
âû÷èñëÿþòñÿ â òî÷êàõ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè ñ øàãîì T . Åñëè ÷èñëî a
âåëèêî, òî øàã T áëèçîê ê íóëþ, è íàîáîðîò, åñëè a áëèçêî ê íóëþ, òî øàã T
âåëèê. Ïðè ýòîì ïàðàìåòð a çàäàåò îòðåçîê, ñîäåðæàùèé íîñèòåëü ïåðåîáðà-
çîâàíèÿ Ôóðüå ôóíêöèè f : supp fb ⊂ [−a, a].  ÷àñòíîñòè, ïðè a = π ôîðìóëà
Êîòåëüíèêîâà  Øåííîíà ïðèíèìàåò âèä
                                    X
                          f (t) =           f (k) sinc (π(t − k),
                                    k∈Z

ò.å. ôóíêöèÿ f ïîëíîñòüþ âîññòàíàâëèâàåòñÿ ïî ñâîèì çíà÷åíèÿì â öåëûõ
òî÷êàõ.

                                               34

Страницы