Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

L
2
= span {g
1
, g
2
} G(g
1
, g
2
, g
3
) > 0
G(g
1
, g
2
, g
3
, g
4
)
G(g
1
, g
2
, g
3
)
= ||g
4
− pr
L
3
g
4
||
2
> 0,
L
3
= span {g
1
, g
2
, g
3
} n = 4
R m x
1
, . . . , x
m
m ≥ n n X
f : {x
1
, . . . , x
m
} → R
(f, g) =
m
X
i=1
f(x
i
)g(x
i
).
f ∈ X
a
0
, a
1
, . . . , a
n−1
m
X
i=1
(a
0
+ a
1
x
i
+ . . . a
n−1
x
n−1
i
− f(x
i
))
2
g
1
(t) = 1 g
2
(t) = t, . . . g
n
(t) = t
n−1
V W X
x ∈ X
x = y + z, y ∈ V, z ∈ W, (1)
X V W
X = V u W.
X = C[−1, 1]
V W
[−1, 1]
V ∩ W = {θ} x ∈ X
y z
ãäå L2 = span {g1 , g2 }. Ïîýòîìó G(g1 , g2 , g3 ) > 0. Àíàëîãè÷íî,
                     G(g1 , g2 , g3 , g4 )
                                           = || g4 − prL3 g4 ||2 > 0,
                      G(g1 , g2 , g3 )
ãäå L3 = span {g1 , g2 , g3 }. Çíà÷èò, íåðàâåíñòâî (7) âåðíî äëÿ n = 4 è ò.ä.

   Óïðàæíåíèå. Ïóñòü íà ïðÿìîé R âûáðàíû m òî÷åê x1 , . . . , xm , ãäå
m ≥ n, è ïî êðàéíåé ìåðå n èç ýòèõ òî÷åê ðàçëè÷íû. Íà ìíîæåñòâå X âñå-
âîçìîæíûõ ôóíêöèé âèäà

                                 f : {x1 , . . . , xm } → R
îïðåäåëèì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ïî ôîðìóëå
                                           m
                                           X
                                (f, g) =         f (xi )g(xi ).
                                           i=1

Ïðè àïïðîêñèìàöèè äàííîé ôóíêöèè f ∈ X ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðà-
òîâ êîýôôèöèåíòû a0 , a1 , . . . , an−1 â ñóììå
                     m
                     X
                            (a0 + a1 xi + . . . an−1 xn−1
                                                      i   − f (xi ))2
                      i=1

âûáèðàþò òàê, ÷òîáû ýòà ñóììà áûëà íàèìåíüøåé. Ïîêàæèòå, ÷òî ðåøåíèå
ýòîé ýêñòðåìàëüíîé çàäà÷è ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåìû âèäà (3) äëÿ áàçèñ-
íûõ ôóíêöèé g1 (t) = 1, g2 (t) = t, . . . , gn (t) = tn−1 è íàïèøèòå ñîîòâåòñòâóþ-
ùèé îïðåäåëèòåëü Ãðàìà.


          Ÿ 7. Ïðÿìûå ñóììû è îðòîãîíàëüíûå äîïîëíåíèÿ

  Ïóñòü V è W  íåíóëåâûå ïîäïðîñòðàíñòâà ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà X .
Åñëè êàæäûé ýëåìåíò x ∈ X îäíîçíà÷íî ïðåäñòàâèì â âèäå

                               x = y + z, y ∈ V, z ∈ W,                         (1)
òî ãîâîðÿò, ÷òî X ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé ñóììîé ïîäïðîñòðàíñòâ V , W è ïèøóò
X = V u W.
   Íàïðèìåð, ðàçëîæåíèå â ïðÿìóþ ñóììó ïðîñòðàíñòâà X = C[−1, 1] ïîëó-
÷èòñÿ, åñëè â êà÷åñòâå V (ñîîòâ. W ) âûáðàòü ìíîæåñòâî âñåõ ÷åòíûõ (ñîîòâ.
íå÷åòíûõ) ôóíêöèé, íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå [−1, 1].
   Ïðåäëîæåíèå 10. Åñëè V ∩ W = {θ}, òî äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà x ∈ X
ýëåìåíòû y è z â ðàçëîæåíèè (1) îïðåäåëÿþòñÿ îäíîçíà÷íî.


                                             17

Страницы