Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

L H x ∈ H
x L
y
∗
∈ L
(x − y
∗
, y) = 0 y ∈ L (1)
pr
L
x = y
∗
x ∈ L y
∗
x H
x ∈ H \ L
L
ˆy x L
y
∗
y
1
, y
2
∈ L
(x − y
1
, y) = (x − y
2
, y) = 0 y ∈ L.
(y
2
− y
1
, y) = 0 y ∈ L.
y = y
2
− y
1
y
1
= y
2
d x L ˆy
x L
d = ||x − ˆy|| = dist (x, L) = inf
y∈L
||x − y||. (2)
z ∈ L
(x − ˆy, z) = b 6= 0.
w = ˆy +
bz
(z, z)
.
w ∈ L
d
2
≤ ||x − w||
2
= (x − w, x −w) =
x − ˆy −
bz
(z, z)
, x − ˆy −
bz
(z, z)
=
= ||x − ˆy||
2
−
b
(z, z)
(z, x − ˆy) −
¯
b
(z, z)
(x − ˆy, z) +
|b|
2
(z, z)
= d
2
−
|b|
2
(z, z)
< d
2
.
(x − ˆy, y) = 0 y ∈ L,
                 Ÿ 5. Íàèëó÷øåå ïðèáëèæåíèå êàê ïðîåêöèÿ

  Ïóñòü L  ïîäïðîñòðàíñòâî ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà H è ïóñòü x ∈ H .
Îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèåé ýëåìåíòà x íà ïîäïðîñòðàíñòâî L íàçûâàåòñÿ ýëå-
ìåíò y ∗ ∈ L òàêîé, ÷òî

                         (x − y ∗ , y) = 0 äëÿ âñåõ y ∈ L                                    (1)
(îáîçíà÷åíèå: prL x = y ∗ ). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî åñëè x ∈ L, òî ïðîåêöèÿ y ∗ ñîâïà-
äàåò ñ ýëåìåíòîì x. Äëÿ îñòàëüíûõ ýëåìåíòîâ èç H îðòîãîíàëüíûå ïðîåêöèè
õàðàêòåðèçóþòñÿ ñëåäóþùèì ïðåäëîæåíèåì.
   Ïðåäëîæåíèå 9. Îðòîãîíàëüíàÿ ïðîåêöèÿ ëþáîãî ýëåìåíòà x ∈ H \ L
íà ïîäïðîñòðàíñòâî L ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííà è ñîâïàäàåò ñ ýëåìåíòîì
íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ ŷ ýëåìåíòà x ïîäïðîñòðàíñòâîì L.
   Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî óñëîâèåì (1) ýëåìåíò y ∗ îïðå-
äåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èìåþòñÿ äâà ýëåìåíòà y1 , y2 ∈ L
òàêèõ, ÷òî
                  (x − y1 , y) = (x − y2 , y) = 0 äëÿ âñåõ y ∈ L.
Òîãäà
                        (y2 − y1 , y) = 0 äëÿ âñåõ y ∈ L.
Ïîëàãàÿ y = y2 − y1 , ïîëó÷èì y1 = y2 .
  Ïóñòü òåïåðü d  ðàññòîÿíèèå îò x äî ïîäïðîñòðàíñòâà L è ïóñòü ŷ  ýëå-
ìåíò íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ ýëåìåíòà x ïîäïðîñòðàíñòâîì L. Òîãäà

                     d = || x − ŷ|| = dist (x, L) = inf || x − y||.                         (2)
                                                           y∈L

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò ýëåìåíò z ∈ L òàêîé, ÷òî

                                  (x − ŷ, z) = b 6= 0.
Ïîëîæèì
                                                  bz
                                   w = ŷ +            .
                                                (z, z)
Ïîñêîëüêó w ∈ L, â ñèëó (2) èìååì
                                                                                    
                                                            bz                bz
    d2 ≤ || x − w||2 = (x − w, x − w) =          x − ŷ −        , x − ŷ −              =
                                                          (z, z)            (z, z)

             2     b                    b̄                  |b|2    2   |b|2
 = || x − ŷ|| −        (z, x − ŷ) −        (x − ŷ, z) +        =d −        < d2 .
                 (z, z)               (z, z)               (z, z)      (z, z)
Ïîëó÷åíî ïðîòèâîðå÷èå, ïîýòîìó

                         (x − ŷ, y) = 0 äëÿ âñåõ y ∈ L,

                                           14

Страницы