Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ϕ
1
, . . . , ϕ
n
span {ϕ
1
, . . . , ϕ
n
} x ∈ X
dist (x, L
n
) = ||x −
n
X
k=1
c
k
ϕ
k
||, (6)
L
n
= span {ϕ
1
, . . . , ϕ
n
} ϕ
1
, . . . , ϕ
n
L
n
X
{g
k
}
{e
k
}
ϕ
1
= g
1
, e
1
= ϕ
1
/||ϕ
1
||.
ϕ
2
= g
2
− (g
2
, e
1
)e
1
, e
2
= ϕ
2
/||ϕ
2
||.
e
1
, e
2
, . . . , e
k
e
k+1
ϕ
k+1
= g
k+1
−
k
X
j=1
(g
k+1
, e
j
)e
j
, e
k+1
= ϕ
k+1
/||ϕ
k+1
||.
{e
k
}
{e
k
} X
e
k
k
e
k
= α
k1
g
1
+ ··· + α
kk
g
k
, α
kk
6= 0;
g
k
e
1
, . . . , e
k
g
k
= β
k1
e
1
+ ··· + β
kk
e
k
, β
kk
6= 0.
{e
1
, . . . , e
k
}
{g
1
, . . . , g
k
}
span {e
1
, . . . , e
k
} = span {g
1
, . . . , g
k
}, k ∈ N,
{e
k
}
1, t, t
2
, t
3
L
2
[−1, 1]
Ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà, íàòÿíóòàÿ íà âåêòîðû ϕ1 , . . . , ϕn , ñîñòîèò èç âñåâîç-
ìîæíûõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé ýòèõ âåêòîðîâ è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì
span {ϕ1 , . . . , ϕn }. Ñîãëàñíî (5) äëÿ ëþáîãî x ∈ X èìååì
                                                          n
                                                          X
                            dist (x, Ln ) = ||x −               ck ϕk ||,            (6)
                                                          k=1

ãäå Ln = span {ϕ1 , . . . , ϕn }. Îòìåòèì, ÷òî âåêòîðû ϕ1 , . . . , ϕn îáðàçóþò îðòî-
ãîíàëüíûé áàçèñ ïðîñòðàíñòâà Ln .
   Çàìå÷àíèå 1.  ïðîèçâîëüíîì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå X ñî ñêàëÿðíûì
ïðîèçâåäåíèåì îò ëþáîé ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìû {gk } ìîæíî ïåðåé-
òè ê îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìå {ek } ñ ïîìîùüþ ïðîöåññà îðòîãîíàëèçàöèè
Øìèäòà. Ïîëîæèì
                              ϕ1 = g1 ,        e1 = ϕ1 /|| ϕ1 ||.
Äàëåå ïîëàãàåì
                       ϕ2 = g2 − (g2 , e1 )e1 ,          e2 = ϕ2 /|| ϕ2 ||.
Âîîáùå, åñëè ýëåìåíòû e1 , e2 , . . . , ek óæå íàéäåíû, òî ñëåäóþùèé ýëåìåíò ek+1
îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóë
                               k
                               X
             ϕk+1 = gk+1 −            (gk+1 , ej )ej ,    ek+1 = ϕk+1 /|| ϕk+1 ||.
                                j=1

Ïîëó÷åííàÿ â ðåçóëüòàòå ñèñòåìà {ek } óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì:
  1) ñèñòåìà {ek } îðòîíîðìèðîâàíà â X ;
  2) êàæäûé ýëåìåíò ek ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ïåðâûõ k ýëåìåíòîâ
äàííîé ñèñòåìû:
                        ek = αk1 g1 + · · · + αkk gk ,           αkk 6= 0;
     3) êàæäûé ýëåìåíò gk ïðåäñòàâèì â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ýëåìåíòîâ
e1 , . . . , ek :
                        gk = βk1 e1 + · · · + βkk ek ,           βkk 6= 0.
   Îòìåòèì, ÷òî ïðè ýòîì ëèíåéíûå îáîëî÷êè ñèñòåì {e1 , . . . , ek } è
{g1 , . . . , gk } ñîâïàäàþò:
                 span {e1 , . . . , ek } = span {g1 , . . . , gk },         k ∈ N,
è óñëîâèÿìè 1)  3) êàæäûé ýëåìåíò ñèñòåìû {ek } îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî
ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ, ìîäóëü êîòîðîãî ðàâåí åäèíèöå.

   Óïðàæíåíèå. Ïðîâåäèòå ïðîöåññ îðòîãîíàëèçàöèè ñèñòåìû 1, t, t2 , t3 â
ïðîñòðàíñòâå L2 [−1, 1].




                                                 8

Страницы