Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ϕ
1
, ϕ
2
, . . . , ϕ
n
,
α
j
(ϕ
j
, ϕ
j
) = 0 1 ≤ j ≤ n.
(ϕ
j
, ϕ
j
) > 0 α
1
= α
2
= ··· = α
n
= 0.
{ϕ
k
}
2
{ϕ
k
} X
x ∈ X
x =
∞
X
k=1
c
k
ϕ
k
,
c
k
c
k
=
(x, ϕ
k
)
(ϕ
k
, ϕ
k
)
. (2)
n, k ∈ N
s
n
=
n
X
j=1
c
j
ϕ
j
n > k
(s
n
, ϕ
k
) =
n
X
j=1
c
j
(ϕ
j
, ϕ
k
) = c
k
(ϕ
k
, ϕ
k
).
n → ∞
(x, ϕ
k
) = c
k
(ϕ
k
, ϕ
k
)
2
x ∈ X c
k
x
{ϕ
k
}
(ϕ
k
, ϕ
k
) = ||ϕ
k
||
2
> 0 (x, ϕ
k
) = c
k
||ϕ
k
||
2
. (3)
x ∈ X n a
1
, a
2
, . . . , a
n
||x −
n
X
k=1
a
k
ϕ
k
||
2
= ||x||
2
−
n
X
k=1
|c
k
|
2
||ϕ
k
||
2
+
n
X
k=1
|a
k
− c
k
|
2
||ϕ
k
||
2
, (4)
c
k
x {ϕ
k
}
Óìíîæàÿ îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (1) ïîñëåäîâàòåëüíî íà ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn , ïîëó÷èì

                             αj (ϕj , ϕj ) = 0 äëÿ 1 ≤ j ≤ n.
Òàê êàê (ϕj , ϕj ) > 0, òî α1 = α2 = · · · = αn = 0. Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìà
{ϕk } ëèíåéíî íåçàâèñèìà.
                                                                                                    2
  Ïðåäëîæåíèå 2. Ïóñòü {ϕk }  îðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà â X , íå ñîäåð-
æàùàÿ íóëåâîãî ýëåìåíòà. Åñëè íåêîòîðûé ýëåìåíò x ∈ X ïðåäñòàâèì â
âèäå ðÿäà
                               X∞
                           x=      ck ϕk ,
                                                    k=1
òî êîýôôèöèåíòû ck îïðåäåëÿþòñÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïî ôîðìóëå
                                                     (x, ϕk )
                                             ck =              .                                        (2)
                                                    (ϕk , ϕk )

  Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü n, k ∈ N. Èç ôîðìóëû
                                                     n
                                                     X
                                             sn =          cj ϕj
                                                     j=1

ïðè n > k èìååì
                                         n
                                         X
                          (sn , ϕk ) =         cj (ϕj , ϕk ) = ck (ϕk , ϕk ).
                                         j=1

Ïîëàãàÿ n → ∞ è ïîëüçóÿñü íåïðåðûâíîñòüþ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, ïî-
ëó÷àåì (x, ϕk ) = ck (ϕk , ϕk ).
                                                                                                    2
  Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ýëåìåíòà x ∈ X êîýôôèöèåíòû ck , îïðåäåëåííûå ïî
ôîðìóëå (2), íàçûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè Ôóðüå ýëåìåíòà x ïî îðòîãîíàëü-
íîé ñèñòåìå {ϕk }. Îòìåòèì, ÷òî

                      (ϕk , ϕk ) = ||ϕk ||2 > 0 è (x, ϕk ) = ck ||ϕk ||2 .                              (3)

   Ïðåäëîæåíèå 3. Ïóñòü x ∈ X . Äëÿ ëþáûõ n ÷èñåë a1 , a2 , . . . , an ñïðà-
âåäëèâî òîæäåñòâî
                n
                X                              n
                                               X                        n
                                                                        X
                            2            2                 2       2
       || x −         ak ϕk || = || x|| −            | ck | ||ϕk || +         | ak − ck |2 ||ϕk ||2 ,   (4)
                k=1                            k=1                      k=1

ãäå ck  êîýôôèöèåíòû Ôóðüå ýëåìåíòà x ïî ñèñòåìå {ϕk }.

                                                     6

Страницы