Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

2
j
g = 2
m+1
g ≤ 2
j
c[1 . . . g]
g = 2g
2
j
i = 1 2
j
/2
c
0
[2i − 1] = (c[i] + c[2
j
/2 + i])/
√
2
c
0
[2i] = (c[i] − c[2
j
/2 + i])/
√
2
c = c
0
L
2
(R)
R L
2
(R)
I
(s)
l
1 ≤ p < ∞
L
p
[0, 1] L
p
(R)
{ϕ
jk
}
(ϕ
jk
, ϕ
j l
) = 0
k 6= l
V
0
= {f ∈ L
2
(R) | k ∈ Z f [k, k + 1)}
f ∈ V
j
⇔ f(2
−j
·) ∈ V
0
, j ∈ Z.
   Èñõîäíûå äàííûå âîññòàíàâëèâàþòñÿ ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùèõ äâóõ ïñåâäî-
êîäîâûõ ïðîöåäóð.
procedure Reconstruction (c: array [1 . . . 2j ] of reals)
     g = 2m+1
     while g ≤ 2j do
       ReconstructionStep(c[1 . . . g])
       g = 2g
  end while
end procedure;
procedure ReconstructionStep (c: array [1 . . . 2j ] of reals)
  for i = 1 to 2j /2 do          √
      c0 [2i − 1] = (c[i] + c[2j /2 +√
                                     i])/ 2
       0                   j
      c [2i] = (c[i] − c[2 /2 + i])/ 2
     end for
     c = c0
end procedure.
    Äëÿ äàëüíåéøåãî èçó÷åíèÿ ñâîéñòâ ñèñòåìû Õààðà ðåêîìåíäóþòñÿ êíèãè
[3], [4] è [8]. Â ìîíîãðàôèÿõ [12], [17] è [19] äèñêðåòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ Õààðà
(è èõ âåéâëåòíûå îáîáùåíèÿ) ýôôåêòèâíî ïðèìåíÿþòñÿ ê çàäà÷àì êîäèðîâà-
íèÿ èíôîðìàöèè è àíàëèçó ñèãíàëîâ.

Óïðàæíåíèÿ
  1. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè äâà äâîè÷íûõ èíòåðâàëà ðàçíûõ ðàíãîâ ïåðåñåêà-
þòñÿ, òî îäèí èç íèõ ñîäåðæèòñÿ â äðóãîì.
  2. Äîêàæèòå ïîëíîòó ñèñòåìû Õààðà â L2 (R).
  Óêàçàíèå. Âîñïîëüçóéòåñü òåì, ÷òî ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ ôèíèòíûõ íà
R ôóíêöèé ïëîòíî â L2 (R), à òàêæå òåì, ÷òî õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ
                                   (s)
ïðîèçâîëüíîãî äâîè÷íîãî èíòåðâàëà Il àïïðîêñèìèðóåòñÿ (êàê â ïðèìåðå 2)
ëèíåéíûìè êîìáèíàöèÿìè ôóíêöèé ñèñòåìû Õààðà.
   3. Äîêàæèòå, ÷òî ïðè ëþáîì 1 ≤ p < ∞ ñèñòåìà Õààðà ïîëíà â ïðîñòðàí-
ñòâàõ Lp [0, 1] è Lp (R).
    4. Ïóñòü ñèñòåìà {ϕjk } îïðåäåëåíà ïî ôîðìóëå (5). Ïîñòðîéòå ãðàôèêè
íåñêîëüêèõ ôóíêöèé ýòîé ñèñòåìû. Äîêàæèòå, ÷òî (ϕjk , ϕj l ) = 0 äëÿ âñåõ
k 6= l.
     5. Ïóñòü

    V0 = {f ∈ L2 (R) | äëÿ êàæäîãî k ∈ Z ôóíêöèÿ f ïîñòîÿííà íà [k, k + 1)}
è
                           f ∈ Vj ⇔ f (2−j ·) ∈ V0 ,   j ∈ Z.


                                              55

Страницы