Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

L
2
(R)
L
2
(R)
V
j
⊂ L
2
(R) j ∈ Z
V
j
⊂ V
j+1
j ∈ Z
S
V
j
= L
2
(R)
T
V
j
= {0}
f(·) ∈ V
j
⇐⇒ f(2 ·) ∈ V
j+1
j ∈ Z
f(·) ∈ V
0
=⇒ f(· − k) ∈ V
0
k ∈ Z
ϕ ∈ L
2
(R) {ϕ(·−k) : k ∈
Z} V
0
{V
j
}
S
V
j
= L
2
(R)
V
j
j ∈ Z L
2
(R) W
j
V
j
V
j+1
V
j+1
= V
j
⊕ W
j
, j ∈ Z . (1)
L
2
(R) =
M
j∈Z
W
j
= V
0
M
M
j≥0
W
j
!
. (2)
V
0
{V
j
}
f(·) ∈ V
0
⇐⇒ f(2
j
·) ∈ V
j
j ∈ Z .
f(·) ∈ V
j
⇐⇒ f(· − 2
−j
k) ∈ V
j
k ∈ Z ,
V
j
2
−j
k
ϕ
1k
(t) =
√
2ϕ(2t − k), k ∈ Z ,
V
1
ϕ ∈
V
0
⊂ V
1
, ϕ
ϕ =
X
k∈Z
(ϕ, ϕ
1k
) ϕ
1k
. (3)
L
2
(R)
ϕ L
2
(R)
ϕ(t) =
X
k∈Z
c
k
ϕ(2t − k), (4)
                Ÿ 4. Êðàòíîìàñøòàáíûé àíàëèç â L2 (R)
  Îïðåäåëåíèå 1. Êðàòíîìàñøòàáíûì àíàëèçîì â L2 (R) íàçûâàåòñÿ
ñåìåéñòâî çàìêíóòûõ ïîäïðîñòðàíñòâ Vj ⊂ L2 (R), j ∈ Z , óäîâëåòâîðÿþùèõ
ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
   (i) Vj ⊂ Vj+1 äëÿ j ∈ Z ;
   (ii)    Vj = L2 (R) è      Vj = {0};
         S                 T
   (iii) f (·) ∈ Vj ⇐⇒ f (2 ·) ∈ Vj+1 äëÿ j ∈ Z ;
   (iv) f (·) ∈ V0 =⇒ f (· − k) ∈ V0 äëÿ k ∈ Z ;
   (v) ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ ϕ ∈ L2 (R) òàêàÿ, ÷òî ñèñòåìà {ϕ(· − k) : k ∈
Z} ÿâëÿåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûì áàçèñîì â V0 .
  Ñîãëàñíî (i), ñåìåéñòâî {Vj } ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âëî-
æåííûõ ïîäïðîñòðàíñòâ. Ðàâåíñòâî       Vj = L2 (R) îçíà÷àåò, ÷òî îáúåäèíå-
                                     S
íèå ïîäïðîñòðàíñòâ Vj , j ∈ Z , ïëîòíî â L2 (R). Ïóñòü Wj  îðòîãîíàëüíîå
äîïîëíåíèå Vj â Vj+1 , ò.å.
                          Vj+1 = Vj ⊕ Wj ,            j ∈ Z.                          (1)
Èç ñâîéñòâ (i) è (ii) ñëåäóþò ðàâåíñòâà
                                                                     !
                               M                  M M
                    L2 (R) =          Wj = V0                   Wj       .            (2)
                                j∈Z                       j≥0

   Ñâîéñòâî (iii) ïîçâîëÿåò ïî îäíîìó ïîäïðîñòðàíñòâó V0 âîñïðîèçâåñòè âñå
ñåìåéñòâî {Vj }. Äåéñòâèòåëüíî, ïî ýòîìó ñâîéñòâó
                f (·) ∈ V0 ⇐⇒ f (2j ·) ∈ Vj          äëÿ âñåõ        j ∈ Z.
Ñîãëàñíî (iii) è (iv) èìååì
             f (·) ∈ Vj ⇐⇒ f (· − 2−j k) ∈ Vj            äëÿ âñåõ            k ∈ Z,
ò.å. Vj èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ñäâèãîâ íà 2−j k .
    Èç ñâîéñòâ (iii) è (v) ñëåäóåò, ÷òî ñèñòåìà ôóíêöèé
                                   √
                       ϕ1k (t) =       2ϕ(2t − k),       k ∈ Z,
ÿâëÿåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûì áàçèñîì ïîäïðîñòðàíñòâà V1 . Ïîñêîëüêó ϕ ∈
V0 ⊂ V1 , ôóíêöèÿ ϕ ðàçëàãàåòñÿ â ðÿä Ôóðüå ïî ýòîé ñèñòåìå:
                                      X
                               ϕ=           (ϕ, ϕ1k ) ϕ1k .                           (3)
                                      k∈Z

  Îïðåäåëåíèå 2. Ìàñøòàáèðóþùåé ôóíêöèåé â L2 (R) íàçûâàþò ôóíê-
öèþ ϕ èç L2 (R) òàêóþ, ÷òî
                                       X
                              ϕ(t) =         ck ϕ(2t − k),                            (4)
                                       k∈Z

                                             57

Страницы