Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

{c
k
} l
2
ϕ
c
k
=
√
2 (ϕ, ϕ
1k
)
{ϕ(· − k) : k ∈ Z}
X
k∈Z
c
k
¯c
k−2l
= 2 δ
0,l
X
k∈Z
|c
k
|
2
= 2).
ϕ
{V
j
}
{c
k
} l
2
ϕ
ϕ
L
2
(R)
ψ
ψ
j,k
(t) = 2
j/2
ψ(2
j
t − k), j, k ∈ Z , (5)
L
2
(R)
ψ L
2
(R)
{ψ
j,k
} f ∈ L
2
(R)
f =
X
j,k∈Z
(f, ψ
j,k
) ψ
j,k
.
ϕ
ϕ
j,k
(t) = 2
j/2
ϕ(2
j
t − k), j, k ∈ Z , (6)
V
j
= span {ϕ
j,k
: k ∈ Z}, j ∈ Z . (7)
ϕ L
2
(R)
{V
j
}
{ϕ(· − k) : k ∈ Z}
L
2
(R) V
j
L
2
(R)
[
V
j
= L
2
(R). (8)
{V
j
} L
2
(R)
ψ
ψ(t) =
X
k∈Z
(−1)
k
¯c
1−k
ϕ(2t − k), (9)
ãäå {ck }  íåêîòîðàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç l2 .
   Ñîãëàñíî (3), äëÿ ôóíêöèè ϕ èç √
                                  óñëîâèÿ (v) îïðåäåëåíèÿ 1 ðàâåíñòâî (4)
âûïîëíåíî ñ êîýôôèöèåíòàìè ck = 2 (ϕ, ϕ1k ). Êðîìå òîãî, èç îðòîíîðìèðî-
âàííîñòè ñèñòåìû {ϕ(· − k) : k ∈ Z} âûâîäèòñÿ ðàâåíñòâî
            X                                                     X
                   ck c̄k−2l = 2 δ0,l    (è, â ÷àñòíîñòè,               | ck |2 = 2).
             k∈Z                                                  k∈Z

   Ôóíêöèþ ϕ èç óñëîâèÿ (v) îïðåäåëåíèÿ 1 íàçûâàþò ìàñøòàáèðóþùåé
ôóíêöèåé êðàòíîìàñøòàáíîãî àíàëèçà {Vj }.
   Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {ck } èç l2 ðàâåíñòâî (4) ìîæíî ðàñ-
ñìàòðèâàòü êàê ôóíêöèîíàëüíîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî ϕ. Ýòî óðàâíåíèå
íàçûâàþò ìàñøòàáèðóþùèì óðàâíåíèåì äëÿ ϕ.
    Îïðåäåëåíèå 3. Îðòîãîíàëüíûì âåéëåòîì â L2 (R) íàçûâàåòñÿ ôóíê-
öèÿ ψ òàêàÿ, ÷òî ôóíêöèè
                         ψj,k (t) = 2j/2 ψ(2j t − k),       j, k ∈ Z ,                  (5)
îáðàçóþò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â L2 (R).
   Òàêèì îáðàçîì, åñëè ψ  îðòîãîíàëüíûé âåéâëåò â L2 (R), òî ñèñòåìà
{ψj,k } îðòîíîðìèðîâàíà è âñÿêàÿ ôóíêöèÿ f ∈ L2 (R) ðàçëàãàåòñÿ â ðÿä Ôó-
ðüå ïî ýòîé ñèñòåìå:            X
                                  f=          (f, ψj,k ) ψj,k .
                                         j,k∈Z

    Äëÿ êàæäîé ìàñøòàáèðóþùåé ôóíêöèè ϕ ïîëàãàþò
                         ϕj,k (t) = 2j/2 ϕ(2j t − k),       j, k ∈ Z ,                  (6)
è
                     Vj = span {ϕj,k : k ∈ Z}, j ∈ Z .               (7)
   Äëÿ øèðîêîãî êëàññà ìàñøòàáèðóþùèõ ôóíêöèé ñîîòâåòñòâóþùèå èì îð-
òîãîíàëüíûå âåéâëåòû îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå, ïðèâåäåííîé â ñëåäóþùåé
òåîðåìå.
   Òåîðåìà 1. Ïóñòü ϕ  ìàñøòàáèðóþùàÿ ôóíêöèÿ â L2 (R), óäîâëåòâî-
ðÿþùàÿ óðàâíåíèþ (4), è ïóñòü ñåìåéñòâî ïîäïîñòðàíñòâ {Vj } îïðåäåëåíî
ïî ôîðìóëå (7). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñèñòåìà {ϕ(· − k) : k ∈ Z} îðòîíîð-
ìèðîâàíà â L2 (R) è îáúåäèíåíèå ïîäïðîñòðàíñòâ Vj ïëîòíî â L2 (R), ò.å.
                             [
                                Vj = L2 (R).                         (8)

Òîãäà ñåìåéñòâî {Vj } ÿâëÿåòñÿ êðàòíîìàñøòàáíûì àíàëèçîì â L2 (R), à
ôóíêöèÿ ψ , çàäàííàÿ ôîðìóëîé
                              X
                       ψ(t) =   (−1)k c̄1−k ϕ(2t − k),           (9)
                                        k∈Z

                                                 58

Страницы