Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Q
j
f
j f (j + 1)
{V
j
} {a
jk
}
{W
j
} {d
jk
}
j s ∈ N
P
j
f = P
j−1
f + Q
j−1
f = ··· = P
j−s
f + Q
j−s
f + ··· + Q
j−1
f (13)
[
V
j
= L
2
(R)
\
V
j
= {0}
f ∈ L
2
(R)
lim
j→+∞
kf − P
j
fk = 0 lim
j→−∞
kP
j
fk = 0.
j f ≈ P
j
f
j → −∞ P
j
f
L
2
(R)
f ∈ L
2
(R) h
k
= (ϕ, ϕ
1k
) g
k
= (ψ, ϕ
1k
)
k ∈ Z ϕ
ψ a
jk
P
j
f =
X
k∈Z
a
jk
ϕ
jk
,
P
j−1
f =
X
k∈Z
a
j−1,k
ϕ
j−1,k
, Q
j−1
f =
X
k∈Z
d
j−1,k
ψ
j−1,k
,
a
j−1,k
=
X
l
¯
h
l−2k
a
jl
, d
j−1,k
=
X
l
¯g
l−2k
a
j l
. (14)
a
j−1,k
d
j−1,k
a
jl
a
j l
=
X
k
(h
l−2k
a
j−1,k
+ g
l−2k
d
j−1,k
). (15)
Èíîãäà ãîâîðÿò, ÷òî Qj f ñîäåðæèò "äåòàëè", íåîáõîäèìûå äëÿ ïåðåõîäà îò
j -ãî óðîâíÿ àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèè f ê áîëåå òî÷íîìó (j + 1)-ìó óðîâíþ.
Ñîîòâåòñòâåííî, ïîäïðîñòðàíñòâà {Vj } ( è êîýôôèöèåíòû {ajk }) íàçûâàþò
àïïðîêñèìèðóþùèìè, à ïîäïðîñòðàíñòâà {Wj } (è êîýôôèöèåíòû {djk }) 
äåòàëèçèðóþùèìè.
  Ïðè ôèêñèðîâàííîì j è ëþáîì s ∈ N èç ðàâåíñòâ (12) ïîëó÷àåì

         Pj f = Pj−1 f + Qj−1 f = · · · = Pj−s f + Qj−s f + · · · + Qj−1 f        (13)
(ñõåìàòè÷íî ýòè ïðåîáðàçîâàíèÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê â ñëó÷àå Õààðà; ñì.
Ðèñ. 1).
   Èç ñîîòíîøåíèé
                         [                        \
                             Vj = L (R) è
                                      2
                                                      Vj = {0}

ñëåäóåò, ÷òî äëÿ êàæäîé f ∈ L2 (R) èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà

                   lim kf − Pj f k = 0 è           lim kPj f k = 0.
                  j→+∞                            j→−∞

Òàêèì îáðàçîì, ïðè óâåëè÷åíèè j ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè f ≈ Pj f óáû-
âàåò ê íóëþ, à åñëè j → −∞, òî ïðîåêöèè Pj f ñòðåìÿòñÿ ê íóëåâîìó ýëåìåíòó
ïðîñòðàíñòâà L2 (R).
   Òåîðåìà 2. Ïóñòü f ∈ L2 (R) è ïóñòü hk = (ϕ, ϕ1k ), gk = (ψ, ϕ1k ),
k ∈ Z , ãäå ìàñøòàáèðóþùàÿ ôóíêöèÿ ϕ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû
1, à âåéâëåò ψ çàäàí ïî ôîðìóëå (9). Åñëè èçâåñòíû êîýôôèöèåíòû ajk
ðàçëîæåíèÿ                        X
                           Pj f =   ajk ϕjk ,
                                          k∈Z
òî êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèé
                    X                                     X
           Pj−1 f =   aj−1,k ϕj−1,k ,          Qj−1 f =         dj−1,k ψj−1,k ,
                       k∈Z                                k∈Z

âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì
                       X                                  X
              aj−1,k =   h̄l−2k ajl ,          dj−1,k =         ḡl−2k aj l .     (14)
                              l                           l

Îáðàòíî, åñëè èçâåñòíû êîýôôèöèåíòû aj−1,k è dj−1,k , òî êîýôôèöèåíòû
ajl âîññòàíàâëèâàþòñÿ ïî ôîðìóëå
                          X
                   aj l =   (hl−2k aj−1,k + gl−2k dj−1,k ).       (15)
                                  k




                                          60

Страницы