Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

=
X
k
a
j−1,k
h
l−2k
+ =
X
k
d
j−1,k
g
l−2k
,
2
ϕ = χ
[0,1)
ϕ(t) = ϕ(2t) + ϕ(2t − 1), ψ(t) = ϕ(2t) − ϕ(2t −1).
g
0
= h
0
= h
1
= 1/
√
2 g
1
= −1/
√
2
h
k
g
k
a
j−1,k
=
a
j,2k
+ a
j,2k+1
√
2
, d
j−1,k
=
a
j,2k
− a
j,2k+1
√
2
(21)
a
j,2k
=
a
j−1,k
+ d
j−1,k
√
2
, a
j,2k+1
=
a
j−1,k
− d
j−1,k
√
2
. (22)
2
ϕ(t) =
√
2
3
X
k=0
h
k
ϕ(2t − k)
h
0
=
1 +
√
3
4
√
2
, h
1
=
3 +
√
3
4
√
2
, h
2
=
3 −
√
3
4
√
2
, h
3
=
1 −
√
3
4
√
2
. (23)
ϕ R
supp ϕ = [0, 3] g
k
g
−2
= h
3
, g
−1
= −h
2
, g
0
= h
1
, g
1
= −h
0
,
a
j−1,k
= h
0
a
j,2k
+ h
1
a
j,2k+1
+ h
2
a
j,2k+2
+ h
3
a
j,2k+3
,
d
j−1,k
= −h
0
a
j,2k
+ h
1
a
j,2k+1
− h
2
a
j,2k+2
+ h
3
a
j,2k+3
.
2
                           X                         X
                      =         aj−1,k hl−2k + =           dj−1,k gl−2k ,
                           k                           k
ò.å. âåðíà ôîðìóëà (15).
                                                                                   2
    Ïðèìåð 1.  ñëó÷àå Õààðà ϕ = χ[0,1) è
             ϕ(t) = ϕ(2t) + ϕ(2t − 1),
                                  ψ(t) = ϕ(2t) − ϕ(2t − 1).
                                    √             √
Îòñþäà âèäíî, ÷òî g0 = h0 = h1 = 1/ 2, g1 = −1/ 2, à âñå îñòàëüíûå
êîýôôèöèåíòû hk è gk ðàâíû íóëþ. Èç ôîðìóë (14) è (15) ïîëó÷àåì
                           aj,2k + aj,2k+1                     aj,2k − aj,2k+1
                aj−1,k =         √         ,        dj−1,k =         √                 (21)
                                   2                                   2
è
                      aj−1,k + dj−1,k             aj−1,k − dj−1,k
               aj,2k =      √         , aj,2k+1 =       √         .   (22)
                              2                           2
Ðàâåíñòâà (21) è (22) çàäàþò ñîîòâåòñòâåííî ïðÿìîå è îáðàòíîå äèñêðåòíûå
ïðåîáðàçîâàíèÿ Õààðà (ñì. Ÿ 3).
                                                                    2
    Ïðèìåð 2. Îäíà èç ìàñøòàáèðóþùèõ ôóíêöèé Äîáåøè ÿâëÿåòñÿ ðåøå-
íèåì ôóíêöèîíàëüíîãî óðàâíåíèÿ
                                        3
                                     √ X
                               ϕ(t) = 2   hk ϕ(2t − k)
                                          k=0

ñ êîýôôèöèåíòàìè
                √                 √                        √                   √
             1+ 3              3+ 3                     3− 3                1− 3
         h0 = √ ,          h1 = √ ,                 h2 = √ ,            h3 = √ .       (23)
              4 2               4 2                      4 2                 4 2
Ýòà ôóíêöèÿ ϕ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû 1, íåïðåðûâíà íà R è èìååò
íîñèòåëü supp ϕ = [0, 3]. Íåíóëåâûå êîýôôèöèåíòû gk ñâÿçàíû ñ êîýôôèöè-
åíòàìè (23) ðàâåíñòâàìè

                 g−2 = h3 ,     g−1 = −h2 ,         g0 = h1 ,     g1 = −h0 ,
à ôîðìóëû (14) ïðèíèìàþò âèä

               aj−1,k = h0 aj,2k + h1 aj,2k+1 + h2 aj,2k+2 + h3 aj,2k+3 ,
              dj−1,k = −h0 aj,2k + h1 aj,2k+1 − h2 aj,2k+2 + h3 aj,2k+3 .
                                                                                   2


                                               62

Страницы