Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A
j
¯a
j
= ¯a
j−1
, D
j
¯a
j
=
¯
d
j−1
, j = n, n − 1, . . . , n − s, (24)
¯a
j
= A
∗
j
¯a
j−1
+ D
∗
j
¯
d
j−1
, j = n −s, n − s + 1, . . . , n, (25)
n A
j
D
j
A
∗
j
D
∗
j
A
j
D
j
bϕ(ξ) = H(ξ/2) bϕ(ξ/2), (26)
H(ξ) =
1
√
2
X
k∈Z
h
k
e
−ikξ
, h
k
=
c
k
√
2
. (27)
2π H(ξ)
|H(ξ)|
2
+ |H(ξ + π)|
2
= 1 ξ ∈ R. (28)
bϕ(0) 6= 0
H(0) = 1 H(π) = 0. (29)
s ∈ N
bϕ(ξ) = bϕ(ξ/2
s
)
s
Y
j=1
H(ξ/2
j
).
∞
Y
j=1
H(ξ/2
j
) (30)
lim
j→+∞
bϕ(ξ/2
j
) = c 6= 0,
bϕ(ξ) = c
∞
Y
j=1
H(ξ/2
j
).
     Çàìå÷àíèå 1. Åñëè ÷èñëî íåíóëåâûõ êîýôôèöèåíòîâ â óðàâíåíèè (4)
êîíå÷íî, òî ïðÿìûå è îáðàòíûå äèñêðåòíûå âåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèÿ ìîãóò
áûòü çàäàíû â ìàòðè÷íîé ôîðìå:

             Aj āj = āj−1 ,    Dj āj = d¯j−1 ,     j = n, n − 1, . . . , n − s,   (24)
è
              āj = A∗j āj−1 + Dj∗ d¯j−1 ,    j = n − s, n − s + 1, . . . , n,      (25)
ãäå n  íà÷àëüíûé óðîâåíü àïïðîêñèìàöèè, ìàòðèöû Aj è Dj íàõîäÿòñÿ èç
ôîðìóë (15), A∗j , Dj∗  ìàòðèöû, êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûå ê Aj è Dj .
   Ïðèìåíèì ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ê îáåèì ÷àñòÿì ìàñøòàáèðóþùåãî óðàâ-
íåíèÿ (4).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì

                                 ϕ(ξ)
                                 b = H(ξ/2)ϕ(ξ/2),
                                           b                                         (26)
ãäå
                                1 X                               ck
                        H(ξ) = √       hk e−ikξ ,            hk = √ .                (27)
                                 2 k∈Z                             2
  Ïîäñòàâëÿÿ (26) â (10), ðàçëàãàÿ ïîëó÷åííóþ ñóììó íà äâå ñóììû ñ ÷åòíû-
ìè è íå÷åòíûìè èíäåêñàìè è ïîëüçóÿñü 2π -ïåðèîäè÷íîñòüþ ôóíêöèè H(ξ),
ïîëó÷àåì, ÷òî

                  |H(ξ)|2 + |H(ξ + π)|2 = 1 äëÿ ï.â. ξ ∈ R.                          (28)
Ïðè óñëîâèè ϕ(0)
            b 6= 0 (ñì. ïðåäëîæåíèÿ 2 è 3) èç (26) è (28) ñëåäóåò, ÷òî
                                H(0) = 1 è H(π) = 0.                                 (29)

     Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî s ∈ N èç ðàâåíñòâà (26) èìååì
                                                    s
                                                    Y
                                               s
                                ϕ(ξ)
                                b = ϕ(ξ/2
                                     b    )               H(ξ/2j ).
                                                    j=1

Îòñþäà âèäíî, ÷òî åñëè áåñêîíå÷íîå ïðîèçâåäåíèå
                                        ∞
                                        Y
                                              H(ξ/2j )                               (30)
                                        j=1

ñõîäèòñÿ è ñóùåñòâóåò ïðåäåë
                                           j
                                  lim ϕ(ξ/2
                                      b      ) = c 6= 0,
                                 j→+∞

òî                                            ∞
                                              Y
                                  ϕ(ξ)
                                  b =c              H(ξ/2j ).
                                              j=1

                                               63

Страницы