Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

t
l
ψ(t) 0 ≤ l ≤ N
b
ψ(0) =
b
ψ
0
(0) = ··· =
b
ψ
(N−1)
(0) = 0
b
ψ
(N)
(0) 6= 0. (38)
b
ψ(ξ) = e
−iξ/2
H(ξ/2 + π)bϕ(ξ/2). (39)
bϕ(0) 6= 0
H(π) = H
0
(π) = ··· = H
(N−1)
(π) = 0 H
(N)
(π) 6= 0, (40)
π N H(ξ)
f N −1
t
0
f(t) = f(t
0
) + f
0
(t
0
)(t − t
0
) + ··· +
f
(N−1)
(t
0
)
(N −1)!
(t − t
0
)
N−1
+ β(t)(t − t
0
)
N−1
,
β(t) → 0 t → t
0
ψ N
Z
R
(t − t
0
)
l
ψ
j,k
(t) dt = 0 0 ≤ l ≤ N − 1
d
j,k
= (f, ψ
j,k
) =
Z
R
β(t)(t − t
0
)
N−1
ψ
j,k
(t) dt. (41)
ψ C
N−1
(R)
ψ N
d
j,k
→ 0 j → +∞
d
j,k
t
0
f ψ d
j,k
j f
ψ
ψ(t) =
√
2
X
k∈Z
g
k
ϕ(2t − k),
g
k
= (−1)
k+1
¯
h
−k−1
g
k
= (−1)
k
¯
h
N−k
G(ξ) = e
iξ
H(ξ + π) G(ξ) = e
−iNξ
H(ξ + π). (42)
Ïðè óñëîâèè àáñîëþòíîé èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèé tl ψ(t), 0 ≤ l ≤ N , ôîð-
ìóëû (37) ýêâèâàëåíòíû ñëåäóþùèì
               b = ψb0 (0) = · · · = ψb(N −1) (0) = 0 è ψb(N ) (0) 6= 0.
               ψ(0)                                                                              (38)
  Ñîãëàñíî (33) è (35) èìååì
                             b = e−iξ/2 H(ξ/2 + π)ϕ(ξ/2).
                             ψ(ξ)                 b                                              (39)
Ïîñêîëüêó ϕ(0)
          b 6= 0, èç (38) è (39) ñëåäóåò, ÷òî

             H(π) = H 0 (π) = · · · = H (N −1) (π) = 0 è H (N ) (π) 6= 0,                        (40)
ò.å. ÷èñëî π ÿâëÿåòñÿ íóëåì êðàòíîñòè N ôóíêöèè H(ξ).
    Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà N − 1 ðàç â
îêðåñòíîñòè òî÷êè t0 . Òîãäà ïî ôîðìóëå Òåéëîðà

                                                  f (N −1) (t0 )
 f (t) = f (t0 ) + f 0 (t0 )(t − t0 ) + · · · +                  (t − t0 )N −1 + β(t)(t − t0 )N −1 ,
                                                   (N − 1)!
ãäå β(t) → 0 ïðè t → t0 . Åñëè îðòîãîíàëüíûé âåéâëåò ψ èìååò N íóëåâûõ
ìîìåíòîâ, òî
                    Z
                         (t − t0 )l ψj,k (t) dt = 0 äëÿ 0 ≤ l ≤ N − 1
                     R
è, ñëåäîâàòåëüíî,
                                           Z
                     dj,k = (f, ψj,k ) =          β(t)(t − t0 )N −1 ψj,k (t) dt.                 (41)
                                             R

Èçâåñòíî, ÷òî åñëè îðòîãîíàëüíûé âåéâëåò ψ ïðèíàäëåæèò êëàññó C N −1 (R)
è èìååò êîìïàêòíûé íîñèòåëü, òî ψ èìååò N íóëåâûõ ìîìåíòîâ. Îòñþäà è èç
ôîðìóëû (41) âèäíî, ÷òî dj,k → 0 ïðè j → +∞, ïðè÷åì ñêîðîñòü óáûâàíèÿ
êîýôôèöèåíòîâ dj,k ê íóëþ òåì âûøå, ÷åì áîëüøå ïðîèçâîäíûõ â îêðåñòíîñòè
òî÷êè t0 èìåþò f è ψ . Òàêèì îáðàçîì, äåòàëèçèðóþùèå êîýôôèöèåíòû dj,k
ïðè áîëüøèõ j áëèçêè ê íóëþ â îêðåñòíîñòè òî÷åê, ãäå ôóíêöèÿ f ãëàäêàÿ.
Ýòî ñâîéñòâî èãðàåò âàæíóþ ðîëü ïðè ëîêàëèçàöèè îñîáåííîñòåé ñèãíàëîâ ñ
ïîìîùüþ âåéâëåòîâ.
   Çàìå÷àíèå 2. Èíîãäà âìåñòî ôîðìóëû (9) âåéâëåò ψ îïðåäåëÿåòñÿ ïî
ôîðìóëå                        √ X
                                ψ(t) =      2           gk ϕ(2t − k),
                                                  k∈Z

ãäå gk = (−1)k+1 h̄−k−1 èëè gk = (−1)k h̄N −k . Ñîîòâåòñòâåííî, âìåñòî ôóíêöèè
(35) â ôîðìóëå (33) áåðóò îäíó èç ñëåäóþùèõ ôóíêöèé

                 G(ξ) = eiξ H(ξ + π) èëè G(ξ) = e−iN ξ H(ξ + π).                                 (42)

                                                   65

Страницы