Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ϕ
L
2
(R) L
2
(R)
ψ
b
ψ(ξ) = e
iγ(ξ/2)
H(ξ/2 + π)bϕ(ξ/2),
H(ξ) γ : R → R
γ(ξ + 2π) − γ(ξ) ∈ 2πZ ξ ∈ R
L
2
(R)
ϕ
h
k
ϕ ϕ(1) ϕ(2)
{ϕ(· − k) : k ∈ Z} L
2
(R)
ϕ = (1/3)χ
[0,3)
bϕ(ξ) {ϕ(·−k) : k ∈ Z}
L
2
(R)
ϕ
H(ξ) G(ξ)
ξ ∈ R
ϕ ∈ L
1
(R) ∩ L
2
(R) bϕ(0) 6= 0
ϕ(t) =
X
k∈Z
c
k
ϕ(2t − k),
{ϕ(·−k) : k ∈ Z} L
2
(R)
X
k∈Z
c
k
= 2,
X
k∈Z
(−1)
k
c
k
= 0,
X
k∈Z
c
k
¯c
k−2l
= 2 δ
0,l
.
ϕ L
2
(R)
bϕ(0) 6= 0 {ϕ(· − k) : k ∈ Z}
Âîîáùå, åñëè ϕ  ìàñøòàáèðóþùàÿ ôóíêöèÿ íåêîòîðîãî êðàòíîìàñøòàáíî-
ãî àíàëèçà â L2 (R) , òî îðòîãîíàëüíûì âåéâëåòîì â L2 (R) ÿâëÿåòñÿ ëþáàÿ
ôóíêöèÿ ψ , ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå êîòîðîé ïðåäñòàâèìî ïî ôîðìóëå
                        b = eiγ(ξ/2) H(ξ/2 + π)ϕ(ξ/2),
                        ψ(ξ)                   b
ãäå ôóíêöèÿ H(ξ) îïðåäåëåíà â (27), à ôóíêöèÿ γ : R → R òàêîâà, ÷òî
γ(ξ + 2π) − γ(ξ) ∈ 2πZ äëÿ âñåõ ξ ∈ R.
   Äåòàëüíîå îáîñíîâàíèå èçëîæåííîé â íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå êîíñòðóêöèè
âåéâëåòîâ â ïðîñòðàíñòâå L2 (R) (âêëþ÷àÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 1 è ïðåä-
ëîæåíèé 1 - 4) ñîäåðæèòñÿ â ìîíîãðàôèÿõ [1], [6] è [14].

Óïðàæíåíèÿ
  1. Äîêàæèòå, ÷òî èç ñâîéñòâ (i) è (ii) îïðåäåëåíèÿ 1 ñëåäóþò ðàâåíñòâà (2).
   2. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ ϕ â ñâîéñòâå (v) îïðåäåëåíèÿ 1 èìååò êîì-
ïàêòíûé íîñèòåëü, òî â ðàçëîæåíèè (3) òîëüêî êîíå÷íîå ÷èñëî êîýôôèöèåí-
òîâ hk îòëè÷íî îò íóëÿ.
  3. Äëÿ ôóíêöèè ϕ èç ïðèìåðà 2 âû÷èñëèòå çíà÷åíèÿ ϕ(1) è ϕ(2).
   4. Äîêàæèòå, ÷òî óñëîâèå (28) íåîáõîäèìî äëÿ îðòîíîðìèðîâàííîñòè ñè-
ñòåìû {ϕ(· − k) : k ∈ Z} â L2 (R).
  5. Ïîêàæèòå, ÷òî äëÿ ôóíêöèè ϕ = (1/3)χ[0,3) óñëîâèå (28) âûïîëíåíî,
ïðîèçâåäåíèå (30) ñõîäèòñÿ ê ϕ(ξ)
                             b , íî ñèñòåìà {ϕ(· − k) : k ∈ Z} íå ÿâëÿåòñÿ
îðòîíîðìèðîâàííîé â L (R).
                       2

   6. Ïóñòü ìàñøòàáèðóþùàÿ ôóíêöèÿ ϕ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû 1,
à ôóíêöèè H(ξ) è G(ξ) îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè (27) è (34). Äîêàæèòå, ÷òî
ìàòðèöà (36) óíèòàðíà äëÿ ï.â. ξ ∈ R. Óáåäèòåñü â óíèòàðíîñòè ìàòðèöû
(36) ïðè óñëîâèÿõ ïðèìåðîâ 1 è 2.
  7. Ïóñòü ôóíêöèÿ ϕ ∈ L1 (R) ∩ L2 (R) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ϕ(0)
                                                             b    6= 0 è
ìàñøòàáèðóþùåìó óðàâíåíèþ
                                       X
                             ϕ(t) =          ck ϕ(2t − k),
                                       k∈Z

à ñèñòåìà {ϕ(· − k) : k ∈ Z} îðòîíîðìèðîâàíà â L2 (R). Äîêàæèòå, ÷òî òîãäà
âûïîëíåíû ðàâåíñòâà
             X               X                      X
                   ck = 2,         (−1)k ck = 0,          ck c̄k−2l = 2 δ0,l .
             k∈Z             k∈Z                    k∈Z


   8. Ïóñòü ϕ  ìàñøòàáèðóþùàÿ ôóíêöèÿ â L2 (R), èìåþùàÿ êîìïàêòíûé
íîñèòåëü, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ìàñøòàáèðóþùåìó óðàâíåíèþ (4) è òàêàÿ, ÷òî
ϕ(0)
b     6= 0. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñèñòåìà {ϕ(· − k) : k ∈ Z} îðòîíîðìèðîâàíà

                                             66

Страницы