Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

j {ϕ
jk
: k ∈ Z }
V
j
ϕ =
X
k∈Z
h
k
ϕ
1k
, h
k
= (ϕ, ϕ
1k
), (3)
bϕ(2ξ) = H(ξ) bϕ(ξ), H(ξ) =
1
√
2
X
k∈Z
h
k
e
−kξ
. (4)
ξ ∈ [−π, π] bϕ = χ
[−π,π]
H(ξ) = bϕ(2ξ) =
1, ξ ∈ [−π/2, π/2],
0, ξ ∈ [−π, −π/2] ∪ [π/2, π].
(5)
[−π, π] H(ξ)
h
k
=
√
2
2π
π
Z
−π
H(ξ)e
ikξ
dξ,
h
k
=
1/
√
2, k = 0,
(−1)
(k−1)/2
√
2/kπ, k ,
h
k
= 0 k
L
2
(R)
ψ
b
ψ(ξ) = e
−iξ/2
H(ξ/2 + π) bϕ(ξ/2) =
e
−iξ/2
, π ≤ |ξ| ≤ 2π,
0 ξ.
ψ(t) =
1
2π
Z
R
b
ψ(ξ)e
itξ
dξ =
1
2π
Z
−π
−2π
e
i(t−1/2)ξ
dξ +
1
2π
Z
2π
π
e
i(t−1/2)ξ
dξ
ψ(t) = 2 sinc 2π(t − 1/2) − sinc π(t − 1/2). (6)
ψ(t) = 2ϕ(2t − 1) − ϕ(t − 1/2)
R
Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì j ñèñòåìà {ϕjk : k ∈ Z } ÿâëÿåòñÿ îðòîíîðìè-
ðîâàííûì áàçèñîì ïðîñòðàíñòâà Vj . Àíàëîãè÷íî (4.3) è (4.21) èìååì
                                  X
                             ϕ=          hk ϕ1k ,       hk = (ϕ, ϕ1k ),                                (3)
                                   k∈Z
è
                                                            1 X
                  ϕ(2ξ)
                  b     = H(ξ)ϕ(ξ),
                              b                     H(ξ) = √       hk e−kξ .                           (4)
                                                             2 k∈Z
Äëÿ ξ ∈ [−π, π] ïîñëå ïîäñòàíîâêè ϕ
                                  b = χ[−π,π] â (4) ïîëó÷àåì
                                    
                                          1,          ξ ∈ [−π/2, π/2],
             H(ξ) = ϕ(2ξ) =                                                                            (5)
                                          0,        ξ ∈ [−π, −π/2] ∪ [π/2, π].
                    b

Âíå îòðåçêà [−π, π] ôóíêöèÿ H(ξ) ïðîäîëæàåòñÿ ïåðèîäè÷åñêè. Êîýôôèöè-
åíòû â (3) âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå
                                       √ Zπ
                                        2
                                  hk =      H(ξ)eikξ dξ,
                                       2π
                                               −π

èç êîòîðîé ñ ïîìîùüþ (5) ïîëó÷àþòñÿ ðàâåíñòâà
                                      √
                                     1/ 2, √                     k = 0,
                      hk =
                                 (−1)(k−1)/2 2/kπ,                k íå÷åòíîå,
ïðè÷åì hk = 0 äëÿ îñòàëüíûõ k .
   Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ (1) ÿâëÿåòñÿ ìàñøòàáèðóþùåé ôóíêöèåé â
L (R). Ñîãëàñíî (4.34), ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ñîîòâåòñòâóþùåãî îðòîãîíàëü-
 2

íîãî âåéâëåòà ψ ìîæåò áûòü íàéäåíî ïî ôîðìóëå
                                                            
        b = e−iξ/2 H(ξ/2 + π)ϕ(ξ/2)                             e−iξ/2 , π ≤ | ξ| ≤ 2π,
        ψ(ξ)                        =
                                                                 0      äëÿ îñòàëüíûõ ξ.
                             b

Âûïîëíÿÿ îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, íàõîäèì
                  Z                            Z   −π                         Z   2π
              1          itξ       1                    i(t−1/2)ξ         1
      ψ(t) =        ψ(ξ)e
                    b        dξ =                       e           dξ +               ei(t−1/2)ξ dξ
             2π   R               2π           −2π                       2π   π
èëè
                ψ(t) = 2 sinc 2π(t − 1/2) − sinc π(t − 1/2).         (6)
Ôóíêöèþ (6) íàçûâàþò âåéâëåòîì Êîòåëüíèêîâà  Øåííîíà. Îíà ñâÿçàíà
ñ ìàñøòàáèðóþùåé ôóíêöèåé (1) ðàâåíñòâîì ψ(t) = 2ϕ(2t − 1) − ϕ(t − 1/2).
   Çàìå÷àíèå 3. Ïîëåçíî ñðàâíèòü êîíñòðóêöèþ Êîòåëüíèêîâà  Øåííîíà
ñ êîíñòðóêöèåé Õààðà.  òî âðåìÿ êàê âåéâëåò Õààðà ÿâëÿåòñÿ ñòóïåí÷à-
òîé ðàçðûâíîé ôóíêöèåé, âåéâëåò Êîòåëüíèêîâà  Øåííîíà (6) èìååò ïðî-
èçâîäíûå âñåõ ïîðÿäêîâ è ïðîäîëæàåòñÿ ñ âåùåñòâåííîé ïðÿìîé R íà êîì-
ïëåêñíóþ ïëîñêîñòü êàê öåëàÿ ôóíêöèÿ. Ñîîòâåòñòâóþùèå ìàñøòàáèðóþùèå

                                                   68

Страницы