Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ϕ = χ
[0,1)
bϕ = χ
[π,π]
ψ
b
ψ(ξ) = e
iξ/2
H(ξ/2 + π)bϕ(ξ/2),
bϕ = χ
[−π,π]
H
ϕ ψ
ν(x) =
0, x ≤ 0,
x
3
(10 − 15x + 6x
2
), 0 ≤ x ≤ 1,
1, x ≥ 1,
(1)
ν(1 − x) = 1 − ν(x) x ∈ R. (2)
ν(x) = 30
x
Z
0
t
2
(1 − t)
2
dt x ∈ [0, 1].
ϕ L
2
(R)
bϕ(ξ) =
1, |ξ| ≤ 2π/3,
cos
π
2
ν
3
2π
|ξ| − 1

, 2π/3 ≤ |ξ| ≤ 4π/3,
0, |ξ| ≥ 4π/3.
(3)
ϕ R
ϕ(t) =
1
π
4π/3
Z
0
bϕ(ξ) cos ξt dξ. (4)
ôóíêöèè îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé ÷èñëîâûõ
ïðîìåæóòêîâ: â ïåðâîì ñëó÷àå ϕ = χ[0,1) (âî âðåìåííîé îáëàñòè), à âî âòî-
ðîì ϕ
    b = χ[π,π] (â ÷àñòîòíîé îáëàñòè). Ïîýòîìó êîíñòðóêöèÿ Êîòåëüíèêîâà 
Øåííîíà â íåêîòîðîì ñìûñëå ïðîòèâîïîëîæíà êîíñòðóêöèè Õààðà.

  Óïðàæíåíèå. Íàéäèòå âåéâëåò Êîòåëüíèêîâà  Øåííîíà ψ , åñëè åãî ïðå-
îáðàçîâàíèå Ôóðüå èìååò âèä
                      b = eiξ/2 H(ξ/2 + π)ϕ(ξ/2),
                      ψ(ξ)                b
ãäå ϕ
    b = χ[−π,π] , à ôóíêöèÿ H çàäàíà ïî ôîðìóëå (5). Ïîñòðîéòå ãðàôèêè
ìàñøòàáèðóþùåé ôóíêöèè ϕ è âåéâëåòà Êîòåëüíèêîâà  Øåííîíà ψ .


                           Ÿ 6. Âåéâëåòû Ìåéåðà

  Íàì ïîòðåáóåòñÿ âñïîìîãàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ
                       
                             0,            x ≤ 0,
                                3       2
               ν(x) =   x (10 − 15x + 6x ), 0 ≤ x ≤ 1,                         (1)
                             1,            x ≥ 1,
óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ

                     ν(1 − x) = 1 − ν(x) äëÿ x ∈ R.                            (2)
Îòìåòèì, ÷òî
                                Zx
                ν(x) = 30            t2 (1 − t)2 dt äëÿ x ∈ [0, 1].
                                0

  Âûáåðåì â êà÷åñòâå ϕ ôóíêöèþ èç L2 (R), ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå êîòîðîé
èìååò âèä
                 
                                    1,                    | ξ| ≤ 2π/3,
                            π         3
                                                    
          ϕ(ξ)
          b =        cos    2   ν    2π | ξ|      −1 ,   2π/3 ≤ | ξ| ≤ 4π/3,   (3)
                                    0,                    | ξ| ≥ 4π/3.

Ôóíêöèÿ ϕ áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìà íà R, òàê êàê åå ïðåîáðàçîâàíèå
Ôóðüå èìååò êîìïàêòíûé íîñèòåëü. Äëÿ íåå èìååò ìåñòî èíòåãðàëüíîå ïðåä-
ñòàâëåíèå
                                              4π/3
                                              Z
                                          1
                           ϕ(t) =                  ϕ(ξ)
                                                   b cos ξt dξ.                (4)
                                          π
                                              0



                                                  69

Страницы