Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

[−π, π] H(ξ)
ξ ∈ R
H(ξ) =
X
k∈Z
bϕ(2ξ + 4πk).
b
ψ(ξ) = e
−iξ/2
H(ξ/2 + π) bϕ(ξ/2) = e
−iξ/2
bϕ(ξ/2)
X
k∈Z
bϕ(ξ + 2π + 4πk).
bϕ(ξ/2) [−8π/3, 8π/3]
ψ
b
ψ(ξ) = e
−iξ/2
bϕ(ξ/2)( bϕ(ξ − 2π) + bϕ(ξ + 2π)). (6)
ψ(t) =
1
π
8π/3
Z
2π/3
bϕ(ξ/2) bϕ(ξ − 2π) cos ξ(t − 1/2) dξ. (7)
ν
ν(x) = 0 x ≤ 0 ν(x) = 1 x ≥ 1.
2π/3 4π/3 bϕ(ξ) n
[0, 1]
ν(x) = x
n+1
(α
0
+ α
1
x + ··· + α
n
x).
n = 1 n = 3
ν(x) = x
2
(3 − 2x) ν(x) = x
4
(35 − 84x + 70x
2
− 20x
3
), 0 ≤ x ≤ 1.
n = 2
C
∞
(R)
ν G
  Çà ïðåäåëû îòðåçêà [−π, π] ôóíêöèÿ H(ξ) ïðîäîëæàåòñÿ ïåðèîäè÷åñêè.
Äëÿ ýòîé ôóíêöèè ïðè ëþáîì ξ ∈ R èìååì
                                        X
                              H(ξ) =          ϕ(2ξ
                                              b    + 4πk).
                                        k∈Z

Ïðèìåíÿÿ (4.34), ïîëó÷àåì
                                                             X
     b = e−iξ/2 H(ξ/2 + π)ϕ(ξ/2)
     ψ(ξ)                 b      = e−iξ/2 ϕ(ξ/2)
                                          b                        ϕ(ξ
                                                                   b + 2π + 4πk).
                                                             k∈Z

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ôóíêöèÿ ϕ(ξ/2)
                      b      ðàâíà íóëþ âíå ïðîìåæóòêà [−8π/3, 8π/3],
íàõîäèì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå âåéâëåòà ψ :
                b = e−iξ/2 ϕ(ξ/2)(
                ψ(ξ)       b       b − 2π) + ϕ(ξ
                                   ϕ(ξ       b + 2π)).                                 (6)
Èç ôîðìóë (3) è (6) âûâîäèòñÿ èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå âåéâëåòà Ìåéåðà:
                             8π/3
                             Z
                        1
               ψ(t) =              ϕ(ξ/2)
                                   b      b − 2π) cos ξ(t − 1/2) dξ.
                                         ϕ(ξ                                           (7)
                        π
                            2π/3

  Çàìå÷àíèå 4. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ìàñøòàáèðóþùåé ôóíêöèè Ìåéå-
ðà (3) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñãëàæåííûé âàðèàíò ñîîòâåòñòâóþùåé ôóíêöèè
èç êîíñòðóêöèè Êîòåëüíèêîâà  Øåííîíà. Ïðè ýòîì èíîãäà âìåñòî ôóíê-
öèè (1) âûáèðàþò äðóãóþ âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ ν , óäîâëåòâîðÿþùóþ
óñëîâèþ (2) è òàêóþ, ÷òî
             ν(x) = 0 äëÿ x ≤ 0 è ν(x) = 1 äëÿ x ≥ 1.
Åñëè ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû â òî÷êàõ 2π/3 è 4π/3 ôóíêöèÿ ϕ(ξ)
                                                     b èìåëà n íåïðå-
ðûâíûõ ïðîèçâîäíûõ, òî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â êëàññå ïîëèíîìèàëüíûõ (íà
îòðåçêå [0, 1]) ôóíêöèé âñïîìîãàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ åäèíñòâåííà è èìååò âèä
                    ν(x) = xn+1 (α0 + α1 x + · · · + αn x).
Äëÿ n = 1 è n = 3 ïîëó÷àþòñÿ ôóíêöèè
   ν(x) = x2 (3 − 2x) è ν(x) = x4 (35 − 84x + 70x2 − 20x3 ),              0 ≤ x ≤ 1.
Âñïîìîãàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ (1) ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèþ n = 2. Äëÿ êàæäîé èç
ýòèõ âñïîìîãàòåëüíûõ ôóíêöèé ïîëó÷àþòñÿ ñâîè ìàñøòàáèðóþùèå ôóíêöèè
è âåéâëåòû. Âñå âåéâëåòû Ìåéåðà ïðèíàäëåæàò êëàññó C ∞ (R) è óáûâàþò íà
áåñêîíå÷íîñòè áûñòðåå ëþáîé îòðèöàòåëüíîé ñòåïåíè (íî íå ýêñïîíåíöèàëüíî
áûñòðî). Ïðè ïîñòðîåíèè ãðàôèêîâ ìàñøòàáèðóþùèõ ôóíêöèé è âåéâëåòîâ
Ìåéåðà â ñèñòåìå MATLAB ñëåäóåò îáðàùàòü âíèìàíèå íà âûáîð íå òîëüêî
ôóíêöèè ν , íî è ôóíêöèè G (ñì. çàìå÷àíèå 2).

  Óïðàæíåíèå. Ïîñòðîéòå ãðàôèê ôóíêöèè (1) è íàðèñóéòå ýñêèç ãðàôè-
êà ôóíêöèè (3). Íàïèøèòå ïðîãðàììó äëÿ âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé âåéâëåòîâ
Ìåéåðà.


                                              71

Страницы